Σύνθεση και όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σύνθεση και όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Φεβ 21, 2017 2:41 pm

Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση \displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}
που ικανοποιεί τη σχέση \displaystyle{f(f(x))=({{x}^{2}}+x+1)f(x)} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty )}.
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι είναι \displaystyle{1-1}
β) Να υπολογίσετε τα όρια \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}} και \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 354
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σύνθεση και όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Φεβ 21, 2017 4:11 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση \displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}
που ικανοποιεί τη σχέση \displaystyle{f(f(x))=({{x}^{2}}+x+1)f(x)} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty )}.
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι είναι \displaystyle{1-1}
β) Να υπολογίσετε τα όρια \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}} και \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}
Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Για f(x_{1})= f(x_{2}) \Rightarrow f(f(x_{1}))= f(f(x_{2})) \Rightarrow ({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1)f(x_{1})} = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)f(x_{1)} ).
Όμωςf(x_{1}) = f(x_{2}) . Συνεπώς ισχύει: ({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1) = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1) \Leftrightarrow {{x_{1}}^{2}}- {{x_{2}}^{2}}+x_{1}-x_{2} = 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}+1) = 0. Όμως x_{1} , x_{2}  >0 . Άρα x_{1}=x_{2}.
Συνεπώς f: 1-1 .

Αφού D_{f}=A=[0,+\infty ) \Rightarrow f(x)\geq 0 ,\displaystyle{\forall x\in A . 
Επίσης θέτοντας στη δοθείσα x=0, έχουμε f(f(0))=f(0) και επειδή  f: 1-1}\Rightarrow f(0)=0.

Τώρα αν υποθέσουμε ότι υπάρχει θετικός πραγματικός l έτσι ώστε f(x)<l,\forall x\in A ισχύει ότι και f(f(x))<l.
Άρα και ({{x}^{2}}+x+1)f(x)}<l, οπότε έχουμε ({{x}^{2}}+x+1)l}<l \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x<0,\forall x\in A. Άτοπο.
Συνεπώς αποδείξαμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο και το f(x) αυξάνεται απεριόριστα.
Άρα \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) =+\infty . Επομένως f(A)=A .

β) Για x\neq 0 είναι \dfrac{f(f(x))}{f(x)} = x^{2}+x+1. Ισχύει \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(f(x))}{f(x)}} = \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(x^2+x+1) =   1.
Θέτω u=f(x). Είναι \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,u= \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)= f(0)=0, αφού f: συνεχής.
Άρα \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(f(x))}{f(x)}} = \displaystyle{\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(u)}{u} =   1. Ομοίως εργαζόμενοι υπολογίζουμε και το \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}} =+\infty.

Πολύ ωραία άσκηση!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σύνθεση και όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Φεβ 21, 2017 4:14 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Για f(x_{1})= f(x_{2}) \Rightarrow f(f(x_{1}))= f(f(x_{2})) \Rightarrow ({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1)f(x_{1})} = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)f(x_{1)} ).
Όμωςf(x_{1}) = f(x_{2}) . Συνεπώς ισχύει: ({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1) = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)
Προσοχή εδώ. Δεν γνωρίζουμε αν f(x_1) = f(x_2) = 0.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνθεση και όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 21, 2017 6:00 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
exdx έγραψε:Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση \displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}
που ικανοποιεί τη σχέση \displaystyle{f(f(x))=({{x}^{2}}+x+1)f(x)} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty )}.
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι είναι \displaystyle{1-1}
β) Να υπολογίσετε τα όρια \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}} και \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}
Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...

Τώρα αν υποθέσουμε ότι υπάρχει θετικός πραγματικός l έτσι ώστε f(x)<l,\forall x\in A ισχύει ότι και f(f(x))<l.
Άρα και ({{x}^{2}}+x+1)f(x)}<l, οπότε έχουμε ({{x}^{2}}+x+1)l}<l \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x<0,\forall x\in A. Άτοπο.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Στο σημείο που παραθέτω υπάρχει πρόβλημα

.Μπορεί να διορθωθεί αν θέσουμε
l=sup\left \{ f(x):x\in [0,\infty ) \right \} αλλά φεύγουμε από τον φάκελο.
Ισως να υπάρχει τρόπος εντός φακέλου


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και όρια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Φεβ 22, 2017 12:49 pm

Η λύση μου στο (α)

Έστω ότι \displaystyle{f(0)=a} . Για \displaystyle{x=0\Rightarrow f(a)=a} ενώ για \displaystyle{x=a} έχουμε \displaystyle{a=({{a}^{2}}+a+1)a\Rightarrow a=0} (μοναδική ρίζα )
Επίσης \displaystyle{f(0)=0} (μοναδικό σταθερό σημείο για τη συνάρτηση )
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)=f(x)-x,x>0} . Η \displaystyle{g}είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο \displaystyle{(0,+\infty )},οπότε διατηρεί πρόσημο .
Υπάρχει \displaystyle{b>0} με \displaystyle{f(b)>0} οπότε έχουμε \displaystyle{g(f(b))=f(f(b))-f(b)=({{b}^{2}}+b)f(b)>0} ,
οπότε \displaystyle{g(x)>0\Rightarrow f(x)>x\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty }άρα , από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής , η \displaystyle{f}παίρνει όλες τις θετικές τιμές
και τελικά το σύνολο τιμών της είναι το \displaystyle{[0,+\infty )}
Αν \displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}=0}.
Αν \displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\ne 0\Rightarrow f(f({{x}_{1}}))=f(f({{x}_{2}}))\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}}, άρα είναι \displaystyle{1-1}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης