Σύνθεση και όρια

#1

Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}$
που ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{f(f(x))=({{x}^{2}}+x+1)f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty )}$ .
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι είναι $\displaystyle{1-1}$
β) Να υπολογίσετε τα όρια $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}$ και $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}$

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε:Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}$
που ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{f(f(x))=({{x}^{2}}+x+1)f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty )}$ .
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι είναι $\displaystyle{1-1}$
β) Να υπολογίσετε τα όρια $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}$ και $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}$

Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Για $f(x_{1})= f(x_{2})$ $\Rightarrow$ $f(f(x_{1}))= f(f(x_{2}))$ $\Rightarrow$ $({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1)f(x_{1})} = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)f(x_{1)} )$ .
Όμως $f(x_{1}) = f(x_{2})$ . Συνεπώς ισχύει: $({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1) = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)$ $\Leftrightarrow$ ${{x_{1}}^{2}}- {{x_{2}}^{2}}+x_{1}-x_{2} = 0$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}+1) = 0$ . Όμως $x_{1} , x_{2} >0 .$ Άρα $x_{1}=x_{2}$ .
Συνεπώς f: 1-1 .

Αφού $D_{f}=A=[0,+\infty )$ $\Rightarrow$ $f(x)\geq 0 ,$ \displaystyle{\forall x\in A . Επίσης θέτοντας στη δοθείσα

x=0

f(f(0))=f(0) και επειδή

f: 1-1} $\Rightarrow$ f(0)=0.

Τώρα αν υποθέσουμε ότι υπάρχει θετικός πραγματικός

έτσι ώστε $f(x)<l,\forall x\in A$ ισχύει ότι και f(f(x))<l

.
Άρα και $({{x}^{2}}+x+1)f(x)}<l$ , οπότε έχουμε $({{x}^{2}}+x+1)l}<l$ $\Leftrightarrow$ ${{x}^{2}}+x<0,\forall x\in A$ . Άτοπο.
Συνεπώς αποδείξαμε ότι καθώς το

αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο και το f(x)

αυξάνεται απεριόριστα.
Άρα $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) =+\infty .$ Επομένως f(A)=A .

β) Για $x\neq 0$ είναι $\dfrac{f(f(x))}{f(x)} = x^{2}+x+1$ . Ισχύει $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(f(x))}{f(x)}} = \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(x^2+x+1) = 1.$
Θέτω u=f(x)

. Είναι $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,u= \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)= f(0)=0,$ αφού

συνεχής.
Άρα $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(f(x))}{f(x)}} = \displaystyle{\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(u)}{u} = 1.$ Ομοίως εργαζόμενοι υπολογίζουμε και το $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}} =+\infty.$

Πολύ ωραία άσκηση!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

dement · #3

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Για $f(x_{1})= f(x_{2})$ $\Rightarrow$ $f(f(x_{1}))= f(f(x_{2}))$ $\Rightarrow$ $({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1)f(x_{1})} = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)f(x_{1)} )$ .
Όμως $f(x_{1}) = f(x_{2})$ . Συνεπώς ισχύει: $({{x_{1}}^{2}}+x_{1}+1) = ({{x_{2}}^{2}}+x_{2}+1)$

Προσοχή εδώ. Δεν γνωρίζουμε αν f(x_1) = f(x_2) = 0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
exdx έγραψε:Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}$
που ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{f(f(x))=({{x}^{2}}+x+1)f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty )}$ .
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι είναι $\displaystyle{1-1}$
β) Να υπολογίσετε τα όρια $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}$ και $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}}$
Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...

Τώρα αν υποθέσουμε ότι υπάρχει θετικός πραγματικός έτσι ώστε $f(x)<l,\forall x\in A$ ισχύει ότι και .
Άρα και $({{x}^{2}}+x+1)f(x)}<l$ , οπότε έχουμε $({{x}^{2}}+x+1)l}<l$ $\Leftrightarrow$ ${{x}^{2}}+x<0,\forall x\in A$ . Άτοπο.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Στο σημείο που παραθέτω υπάρχει πρόβλημα

.Μπορεί να διορθωθεί αν θέσουμε
$l=sup\left \{ f(x):x\in [0,\infty ) \right \}$ αλλά φεύγουμε από τον φάκελο.
Ισως να υπάρχει τρόπος εντός φακέλου

#5

Η λύση μου στο (α)

Έστω ότι $\displaystyle{f(0)=a}$ . Για $\displaystyle{x=0\Rightarrow f(a)=a}$ ενώ για $\displaystyle{x=a}$ έχουμε $\displaystyle{a=({{a}^{2}}+a+1)a\Rightarrow a=0}$ (μοναδική ρίζα )
Επίσης $\displaystyle{f(0)=0}$ (μοναδικό σταθερό σημείο για τη συνάρτηση )
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)-x,x>0}$ . Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο $\displaystyle{(0,+\infty )}$ ,οπότε διατηρεί πρόσημο .
Υπάρχει $\displaystyle{b>0}$ με $\displaystyle{f(b)>0}$ οπότε έχουμε $\displaystyle{g(f(b))=f(f(b))-f(b)=({{b}^{2}}+b)f(b)>0}$ ,
οπότε $\displaystyle{g(x)>0\Rightarrow f(x)>x\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty }$ άρα , από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής , η $\displaystyle{f}$ παίρνει όλες τις θετικές τιμές
και τελικά το σύνολο τιμών της είναι το $\displaystyle{[0,+\infty )}$
Αν $\displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}=0}$ .
Αν $\displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\ne 0\Rightarrow f(f({{x}_{1}}))=f(f({{x}_{2}}))\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}}$ , άρα είναι $\displaystyle{1-1}$

Σύνθεση και όρια

Σύνθεση και όρια

Re: Σύνθεση και όρια

Re: Σύνθεση και όρια

Re: Σύνθεση και όρια

Re: Σύνθεση και όρια

Μέλη σε σύνδεση