Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Antonis Loutraris
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm

Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Loutraris » Κυρ Φεβ 05, 2017 9:03 pm

Mία ενδιαφέρουσα άσκηση.

Ας είναι μία συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία f(x)\cdot \sigma\upsilon\nu x>0 σε κάθε x
που \sigma\upsilon\nu x\neq 0. Βρείτε τις ρίζες της f.


Αντώνης Λουτράρης

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Φεβ 05, 2017 9:32 pm

Antonis Loutraris έγραψε:Mία ενδιαφέρουσα άσκηση.

Ας είναι μία συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία f(x)\cdot \sigma\upsilon\nu x>0 σε κάθε x
που \sigma\upsilon\nu x\neq 0. Βρείτε τις ρίζες της f.
Οι ρίζες της f είναι οι λύσεις της εξίσωσης \cos x=0.

Η βασική ιδέα της λύσης

Η f είναι ομόσημη με τη συνάρτηση συνημίτονο στα διαστήματα με άκρα δύο διαδοχικές ρίζες της (συνάρτησης συνημίτονο). Η f αλλάζει πρόσημο δεξιά κι αριστερά από κάθε ρίζα της \cos x=0, σε μια περιοχή αυτής της ρίζας. Λόγω συνέχειας, η f πρέπει να έχει μια ρίζα σε μια περιοχή κάθε ρίζας της συνάρτησης συνημίτονο. Λόγω της δοθείσας ανισοτικής σχέσης, οι ρίζες της f και της συνάρτησης συνημίτονο πρέπει να ταυτίζονται. Πράγματι, με περισσότερο μαθηματικό συμβολισμό έχουμε την παρακάτω:

Λύση:

Για κάθε k\in \mathbb{Z} παρατηρoύμε ότι

f(k\pi)\cdot f((k+1)\pi)= -f(k\pi)\cos (k\pi) \cdot f((k+1)\pi) \cos ((k+1)\pi)<0

κι άρα, από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ρίζα \xi_k της f στο διάστημα (k\pi, (k+1)\pi).

Από τη δοθείσα σχέση, αναγκαστικά είναι \cos \xi_k=0, διότι διαφορετικά θα είχαμε

0<f(\xi_k)\cos \xi_k=0\cdot \cos \xi_k=0, άτοπο.

Συνεπώς, \xi_k=\dfrac{k\pi+(k+1)\pi}{2}=\dfrac{2k+1}{2}\pi.

Για x\ne \dfrac{2k+1}{2}\pi με k ακέραιο, είναι \cos x\ne 0, οπότε f(x)\cos x>0, κι άρα f(x)\ne 0.

Συνεπώς, f(x)=0\iff \cos x=0\iff x= \dfrac{2k+1}{2}\pi, με k ακέραιο.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης