Απορία σε σύνολο τιμών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

alekos100
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 29, 2014 10:33 pm

Απορία σε σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alekos100 » Παρ Νοέμ 04, 2016 10:40 pm

γνωρίζω ότι
Αν \kappa \in f(A) τότε ή εξίσωση f(x)=\kappa έχει μια τουλάχιστον λύση στο Α
και ότι προκύπτει από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

1. μπορεί κάποιος να το εξηγήσει
2. αν το \kappa είναι άκρο τουf(A) υπάρχει κάποια παρατήρηση που πρέπει να κάνουμε
(γιατί σε κάποια άσκηση το αναφέρει )



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1392
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Απορία σε σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Νοέμ 04, 2016 10:51 pm

Γεια χαρά. Δεν χρειάζεσαι το Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών.

Εφ' όσον \displaystyle{k\in f(A)} , υπάρχει \displaystyle{a\in A} τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(a)=k} .

Τότε, το \displaystyle{a} είναι λύση της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=k\,,x\in A} .


Παπαπέτρος Ευάγγελος
alekos100
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 29, 2014 10:33 pm

Re: Απορία σε σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alekos100 » Σάβ Νοέμ 05, 2016 8:44 pm

βρήκα αυτό
1.png
1.png (46.12 KiB) Προβλήθηκε 1734 φορές
viewtopic.php?f=133&t=27105

αν f(x)=\frac{1}{x}-lnx με x\in (0,1]
έχουμε f(A)= [1,+\infty)

H εξίσωση f(x)= \frac{3}{2} έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0,1] διότι \frac{3}{2}\in f(A)

H εξίσωση f(x)= 1 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0,1] διότι 1\in f(A)

Η απορία μου είναι ότι μήπως επειδή το \frac{3}{2} δεν είναι άκρο τουf(A) η λύση είναι στο εσωτερικό του Α δηλαδή (0,1)

Ευχαριστώ


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Απορία σε σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Νοέμ 06, 2016 9:56 am

Για να λυθεί η απορία γιατί δεν εφαρμόζετε τη μέθοδο της διχοτόμησης ;
Θεωρείς
g(x)=\frac{1}{x}-lnx-\frac{3}{2}
όπου

\lim g(x)_{x\to 0^{+} =+\infty και
\lim g(x)_{x\to 1}=-\frac{1}{2}

Υπολογίζεις \lim g(x)_{x\to \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-ln2<0

άρα το διάστημα επίλυσης είναι το (\frac{1}{2},1) οπότε ;;; η λύση θα είναι εντός διαστήματος
Και αν θέλετε συνεχίζετε μικραίνοντας το διάστημα για να προσεγγίσετε με ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια


Από την άλλη πάλι μπορείτε να υποθέσετε ότι υπάρχει λύση εκτός του διαστήματος και να καταλήξετε σε άτοπο

Θεωρήστε λύση x_{0}>1 τέτοιο ώστε g(x_{0})=0
Θεωρήστε επίσης (1,x_{0}+1)
Είναι γνωστό ότι \lim g(x)_{x\to 1^{+}} =-\frac{1}{2} <0

Η g(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (1,+\infty) άρα για το τυχαίο x_{0}>1 θα ισχύει g(x_{0})<g(1) επομένως δεν υπάρχει λύση για την εξίσωση εκτός του διαστήματος (0,1)


Μπορείτε επίσης να πάρετε και μία τυχαία παράγουσα G(x)=(1-x)lnx-\frac{x}{2}+c και να εφαρμόσετε θ. Rolle για το τυχαίο διάστημα (1,x_{0}+1) αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει σημείο μηδενισμού της g(x) σε αυτό


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες