Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Ιστοσελίδα · #1

Με αφορμή το θέμα αυτό, να αποδείχθεί ότι

Οι συναρτήσεις $\sin x, \; \cos x , \; \tan x , \; \cot x , \; a^x , \; \log_{a}x$ με $0<a\neq 1$ δεν είναι ρητές.

BAGGP93 · #2

Καλημέρα. Μια ιδέα.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πολυωνυμικές συναρτήσεις $\displaystyle{f\,,g}$ με $\displaystyle{g(x)\neq 0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$

ώστε $\displaystyle{\sin\,x=\dfrac{f(x)}{g(x)}\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Τότε, η πολυωνυμική $\displaystyle{f}$ έχει το ίδιο πλήθος ριζών με το ημίτονο, άρα άπειρες, άτοπο.

Ίδιο επιχείρημα χρησιμοποιούμε για το συνημίτονο και την εφαπτομένη.

Εφ' όσον, $\displaystyle{\cot\,x=\dfrac{1}{\tan\,x}\,,x\neq k\,\pi\,,k\in\mathbb{Z}}$ , ούτε η συνεφαπτομένη είναι ρητή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Καλημέρα Ευάγγελε.
Δεν είναι σωστό γιατί δεν ξέρεις ακριβως τον βαθμό του πολυωνύμου
f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

Το δεξιό πολυώνυμο εχει βαθμό μικρότερο η ισο αυτού που έγραψες.

BAGGP93 · #4

Ευχαριστώ κύριε Στάυρο. Για την ακρίβεια, ο βαθμός του δευτέρου μέλους είναι $\displaystyle{n+m}$ , με την υπόθεση ότι

$\displaystyle{\deg(f)=n\,,\deg(g)=m}$ .

#5

stranton έγραψε:Με αφορμή το θέμα αυτό, να αποδείχθεί ότι

Οι συναρτήσεις $\sin x, \; \cos x , \; \tan x , \; \cot x , \; a^x , \; \log_{a}x$ με $0<a\neq 1$ δεν είναι ρητές.

Οι τριγωνομετρικές δεν είναι ρητές για τον απλούστατο λόγο ότι είναι περιοδικές.

Το ότι οι εκθετικές δεν είναι ρητές βγαίνει εύκολα από την $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac {a^x}{R(x)} \to \pm \infty}$ για οποιαδήποτε ρητή

(όπου

και ανάλογα για τις άλλες περιπτώσεις).

Για τον λογάριθμο είδαμε

τρόπους εδώ και εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Καλημέρα Μιχάλη.
Νομίζω ότι είναι καλό να αποδειχθεί ότι αυτές οι συναρτήσεις δεν είναι ρητές σε κανένα διάστημα.

Ξεκινάω και κάνω την εκθετική.

Εστω $e^{x}=\dfrac{Q(x)}{P(x)}$ για $x\epsilon (a,b)$ και P(x),Q(x)

πολυώνυμα.

Εχουμε $e^{x}P(x)=Q(x)$

παραγωγίζοντας παίρνουμε $e^{x}(P(x)+P'(x))=Q'(x)$

και αντικαθιστώντας Q(x)(P(x)+P'(x))=Q'(x)P(x)

Συγκρίνοντας βαθμούς πολυωνύμων στην τελευταία έχουμε ΑΤΟΠΟ

Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Re: Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Re: Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Re: Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Re: Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Re: Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση