Δυσκολη συναρτησιακη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

almaxios
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Σεπ 17, 2010 2:15 am

Δυσκολη συναρτησιακη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από almaxios » Πέμ Οκτ 20, 2016 1:58 am

Δίνεται συνάρτηση f:R-\left \{ 0 \right \}\rightarrow +\propto ,f(x)\neq 0
και ισχύει η σχέση f(xy)=f(x)f(y),x,y\epsilon R-\left \{ 0 \right \}.
Αν η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική ρίζα την χ=1 και η γραφική παράσταση της f τέμνει την y=x το πολύ σε ένα σημείο τότε
α) Να αποδειχθεί ότι f(\frac{1}{x})=\frac{1}{f(x)}
β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντστρέψιμη
γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g(x)=\frac{f(x)}{x} είναι αντιστρέψιμη

Το α ερώτημα βγαίνει εύκολα θέτοντας y=\frac{1}{x}
Τα υπόλοιπα δύο ;;;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11744
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δυσκολη συναρτησιακη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 20, 2016 3:17 am

almaxios έγραψε:Δίνεται συνάρτηση f:R-\left \{ 0 \right \}\rightarrow +\propto ,f(x)\neq 0
και ισχύει η σχέση f(xy)=f(x)f(y),x,y\epsilon R-\left \{ 0 \right \}.
Αν η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική ρίζα την χ=1 και η γραφική παράσταση της f τέμνει την y=x το πολύ σε ένα σημείο τότε
α) Να αποδειχθεί ότι f(\frac{1}{x})=\frac{1}{f(x)}
β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντστρέψιμη
γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g(x)=\frac{f(x)}{x} είναι αντιστρέψιμη

Το α ερώτημα βγαίνει εύκολα θέτοντας y=\frac{1}{x}
Τα υπόλοιπα δύο ;;;
Καλύτερα να μην δίνουμε ποιοτικούς χαρακτηρισμούς "δύσκολη" ιδίως για εύκολα θέματα.

Το β) ως εξής: Έστω f(a)=f(b). Τότε \displaystyle{ 1 = \frac {f(a)}{f(b)} = f\left (\frac {a}{b} \right )}. Τώρα, από υπόθεση, το x=1 είναι η μοναδική ρίζα της f(x)=1. Συνεπώς \displaystyle{ \frac {a}{b} =1}, που σημαίνει a=b και άρα η f είναι 1-1, όπως θέλαμε.

Το γ) ως εξής: Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι η υπόθεση "η γραφική παράσταση της f τέμνει την y=x το πολύ σε ένα σημείο" μαζί με την υπόθεση f(1)=1 μεταφράζεται ότι η f(x)=x έχει ακριβώς μία ρίζα, την x=1.

Τώρα, έστω g(a)=g(b) ή αλλιώς \displaystyle{ \frac {a}{b} = \frac {f(a)}{f(b)} = f\left (\frac {a}{b} \right )}. Θέτοντας \displaystyle{\frac {a}{b}=c} η τελευταία γράφεται \displaystyle{ c= f(c), που σημαίνει ότι c=1. Άρα a=b, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης