Σταθερό σημείο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Οκτ 18, 2016 1:34 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {\sqrt[{2016}]{x}\sin (2{e^{\frac{1}{x}}}),x > 0}  \\ 
   {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0}  \\ 
\end{array}} \right.}
Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{a \in [0,1]} ώστε : \displaystyle{f(a) = a}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12618
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 18, 2016 1:47 pm

exdx έγραψε: Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{a \in [0,1]} ώστε : \displaystyle{f(a) = a}
Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος τέτοια a.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6274
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Οκτ 18, 2016 3:27 pm

Αν δεν κάνω λάθος, για κάθε \displaystyle{\delta >0,} υπάρχουν άπειρα \displaystyle{a\in (0, \delta),} ώστε \displaystyle{f(a)=a.}


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 20, 2016 12:31 am

Αν και απαντήθηκε ουσιαστικά ας την γράψω.

Βρίσκουμε κάποιες από τις ρίζες των \sin 2e^{\frac{1}{x}}=0 και \sin 2e^{\frac{1}{x}}=1

Για την πρώτη έχουμε ότι αν 2e^{\frac{1}{x}}=2k\pi τότε x_{k}=\dfrac{1}{lnk\pi } όπου k=1,2,....
είναι ρίζα της.

Ομοια για την δεύτερη τα y_{k}=\dfrac{1}{ln(k\pi +\frac{\pi }{4})} όπου k=1,2,.... είναι ρίζες της.

Θέτουμε h(x)=x^{c}\sin 2e^{\frac{1}{x}}-x οπου c=\frac{1}{2016}< 1

Είναι εύκολο να δούμε ότι h(x_{k})=-x_{k}< 0

και h(y_{k})=(y_{k})^{c}-y_{k}> 0

Εφαρμόζοντας Bolzano στο διάστημα (y_{k},x_{k}) παίρνουμε αυτό που θέλουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης