Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 09, 2014 10:19 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}, \;\; x \in \mathbb{R}}.
α.Να δείξετε ότι για κάθε y \in (0, 1) υπάρχει μοναδικό t \in \mathbb{R} τέτοιο ώστε \displaystyle{y=\frac{e^t}{e^t+\sqrt{e}}}.
β.Να υπολογίσετε το άθροισμα \displaystyle{f\left ( \frac{1}{10} \right )+f\left ( \frac{2}{10} \right )+\cdots+f\left ( \frac{9}{10} \right )}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis » Τετ Δεκ 10, 2014 12:42 am

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}, \;\; x \in \mathbb{R}}.
α.Να δείξετε ότι για κάθε y \in (0, 1) υπάρχει μοναδικό t \in \mathbb{R} τέτοιο ώστε \displaystyle{y=\frac{e^t}{e^t+\sqrt{e}}}.
β.Να υπολογίσετε το άθροισμα \displaystyle{f\left ( \frac{1}{10} \right )+f\left ( \frac{2}{10} \right )+\cdots+f\left ( \frac{9}{10} \right )}.
Καλησπέρα Τόλη!
α.Παράτηρουμε ότι:
0<\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}<\frac {e^x} {e^x}=1
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε οτι η f είναι 1-1
Πράγματι, έστω ότι υπάρχουν x_1,x_2 τέτοια ώστε αν
x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow \dfrac{e^{x_1}}{e^{x_1}+\sqrt{e}}=\dfrac{e^{x_2}}{e^{x_2}+\sqrt{e}} \Leftrightarrow e^{x_1}(e^{x_2}+\sqrt {e})=e^{x_2}(e^{x_1}+\sqrt {e}) \Leftrightarrow e^{x_1+x_2}+e^{x_1+\frac {1} {2}}=e^{x_2+x_1}+e^{x_2+\frac {1} {2}} \Leftrightarrow e^{x_1+\frac {1} {2}}=e^{x_2+\frac {1} {2}} \Leftrightarrow  x_1+\dfrac {1}{2}=x_2+\dfrac {1}{2} \Leftrightarrow x_1=x_2
,άτοπο.
β.Επιπλέον βλέπουμε ότι:
f(\frac {10-a} {10})+f(\frac {a} {10})= \dfrac {e^{\frac {10-a}{10}}} {e^{\frac {10-a}{10}}+e^{\frac{1}{2}}}+\dfrac {e^{\frac {a}{10}}} {e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}}}=\dfrac {e^{\frac {10-a}{10}} ( e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})+e^{\frac {a}{10}} (e^{\frac {10-a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})} {(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}=\dfrac {e^{\frac {10-a} {10}}(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})+e^{\frac{1}{2}}(e^{\frac {a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})} {(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}=\dfrac {(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}{(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}=1
Άρα:
f(\frac {1}{10})+f(\frac {2}{10})+...+f(\frac {9}{10})=\left(f(\frac {1}{10})+f(\frac {9}{10})\right)+...+\left(f(\frac {4}{10})+f(\frac {6}{10})\right)+f(\frac {5}{10})=1+1+1+1+f(\frac {1} {2})=4+\dfrac {e^{\frac {1}{2}}} {e^{\frac {1}{2}}+e^{\frac {1}{2}}}=4+\dfrac {1}{2}=\dfrac {9}{2}
Ελπίζω να μην έκανα κάπου λάθος(είναι και η ώρα περασμένη...).


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 10, 2014 2:09 am

Το \displaystyle{1-1} μπορεί να το δείξει κάποιος και ως εξής:

\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}=\frac{e^x+\sqrt{e}-\sqrt{e}}{e^x+\sqrt{e}}=1-\frac{\sqrt{e}}{e^x+\sqrt{e}}}

Οπότε η f είναι γνήσια αύξουσα... και τα λοιπά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης