mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 22, 2014 8:56 pm**

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty}$ τότε $\displaystyle{f(x)>0}$ κοντά στο $\displaystyle{x_0.}$ Σωστό ή λάθος;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 22, 2014 9:49 pm**

Δες το πρώτα λίγο διαισθητικά: κοντά στο x_0

η συνάρτηση είναι κοντά στο συν άπειρο, άρα και θετική, σωστά;

Αυστηρά τώρα: από την υπόθεση ξέρουμε ότι για κάθε M>0

(οσοδήποτε μεγάλο) υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε $|x-x_0|<\delta \rightarrow f(x)>M$ ... οπότε επιλέγοντας για παράδειγμα M=1

υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε αν $|x-x_0|<\delta$ τότε f(x)>1

, άρα και

.

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 22, 2014 10:30 pm**

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 22, 2014 10:48 pm**

Ας δούμε και ένα συγκεκριμένο παράδειγμα: αν $f(x)=\displaystyle\frac{x+5}{(x-3)^2}$ και x_0=3

, ποιο είναι ένα κατάλληλο $\delta$ για να έχουμε f(x)>1

για $|x-x_0|<\delta$ ; Επειδή η f(x)>1

προκύπτει ισοδύναμη προς την x^2-7x+4<0

, μια ανισότητα που προφανώς ισχύει και για x=1

και για

(και για κάθε τιμή ανάμεσα τους), αρκεί να επιλέξουμε $\delta = 2$ (καθώς |x-3|<2

αν και μόνον αν 1<x<5

).

[Τα παραπάνω επαρκούν για το ερώτημα που τέθηκε, αν όμως θέλαμε f(x)>10

, δηλαδή

, για $|x-3|<\delta$ ... τότε δεν 'φτάνει' ούτε το $\delta =1$ (καθώς $10\cdot 2^2-61\cdot 2+85=3>0$ ), αλλά θα μπορούσαμε να επιλέξουμε $\delta =0,8$ ... καθώς $10\cdot 2,2^2-61\cdot 2,2+85=-0,8<0$ και $10\cdot 3,8^2-61\cdot 3,8+85=-2,4<0$ , κλπ κλπ (Αυτά τα παραθέτω -- με κάποιες επιφυλάξεις ως προς τις πράξεις -- για καλύτερη κατανόηση της έννοιας του ορίου, ειδικότερα όταν αυτό είναι το συν άπειρο.)]

Γιώργος Μπαλόγλου

mathematica.gr

Σωστό/Λάθος

Σωστό/Λάθος

Re: Σωστό/Λάθος

Re: Σωστό/Λάθος

Re: Σωστό/Λάθος