1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Οκτ 20, 2013 12:48 am

Η συνάρτηση f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ είναι τέτοια ώστε \displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+. \mathbb{R}^+=(0,+\infty)
Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.


Θανάσης Κοντογεώργης
smarpant
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Παρ Δεκ 10, 2010 3:33 pm

Re: 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από smarpant » Κυρ Οκτ 20, 2013 7:53 am

αν επιτρέψεις x=0 τότε για x=0

f(f(y))=f(0)+y.

f(x_1)=f(x_2) 
 
f(f(x_1))=f(f(x_2)) 
 
f(0)+x_1=f(0)+x_2 
 
x_1=x_2

αν δεν είναι αυτός ο σκοπός της άσκησης σβήσε αυτή τη λύση


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 26, 2013 6:51 pm

smarpant έγραψε:αν επιτρέψεις x=0 τότε για x=0

f(f(y))=f(0)+y.

f(x_1)=f(x_2) 
 
f(f(x_1))=f(f(x_2)) 
 
f(0)+x_1=f(0)+x_2 
 
x_1=x_2

αν δεν είναι αυτός ο σκοπός της άσκησης σβήσε αυτή τη λύση

Δε μπορούμε να θέσουμε x=0 διότι η σχέση μας ισχύει μόνο για x,y>0...


Θανάσης Κοντογεώργης
dimitris.ligonis
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 11:55 am

Re: 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris.ligonis » Σάβ Οκτ 26, 2013 8:31 pm

Έστω x_1,x_2 \in \mathbb{R^+} : f(x_1)=f(x_2).
Έστω a \in \mathbb{R^+} : x_1,x_2 > a
Τότε: x_1=a+b_1 , x_2=a+b_2 για κάποια b_1,b_2 \in \mathbb{R^+}
Οπότε θα είναι:
a+f(a+b_1)=a+f(a+b_2) \overset{f}{\Rightarrow}
f(a+f(a+b_1))=f(a+f(a+b_2)) \Rightarrow
f(2a)+b_1=f(2a)+b_2 \Rightarrow
b_1=b_2 \Rightarrow
x_1=x_2

Άρα f: 1-1/ \mathbb{R^+}


Δημήτρης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: 1-1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 26, 2013 8:50 pm

:coolspeak: :clap2:


Θανάσης Κοντογεώργης
kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: 1-1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Τρί Ιαν 15, 2019 1:43 am

socrates έγραψε:
Κυρ Οκτ 20, 2013 12:48 am
Η συνάρτηση f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ είναι τέτοια ώστε \displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+. \mathbb{R}^+=(0,+\infty)
Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
Eαν θέταμε x=y η σχέση θα γινόταν f(x+f(2x))=f(2x) +x. Eαν τώρα θέταμε f(2x)+x=y και καταλήγαμε στο ότι
f(y)=y ,άρα και 1-1 είναι σωστό;; Λογικά είναι λανθασμένο άλλα ρωτάω για παν ενδεχόμενο.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: 1-1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Ιαν 15, 2019 8:11 am

Θα έπρεπε το συνιλο τιμών της \displaystyle{f(2x)+x} να είναι όλο το \displaystyle{R+} πουν δεν εχει αποδειχθεί


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: 1-1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Τρί Ιαν 15, 2019 12:13 pm

R BORIS έγραψε:
Τρί Ιαν 15, 2019 8:11 am
Θα έπρεπε το συνιλο τιμών της \displaystyle{f(2x)+x} να είναι όλο το \displaystyle{R+} πουν δεν εχει αποδειχθεί
Aυτο που είχα κατά νου, μάλιστα. Ευχαριστώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης