συναρτησιακή με φραγμένη, ζητείται όριο (Γ.216)

parmenides51 · #1

Μαθηματική Παιδεία (#5) Γ.216.

Δίνεται η φραγμένη συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}}$ .

Αν για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt y}\right)f(xy)=\frac{1}{x}f(x)+\frac{1}{y}f(y)}$

αποδείξτε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}f(x)=0}$

Κ.Παπακώστας

#2

parmenides51 έγραψε:Μαθηματική Παιδεία (#5) Γ.216.

Δίνεται η φραγμένη συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}}$ .

Αν για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt y}\right)f(xy)=\frac{1}{x}f(x)+\frac{1}{y}f(y)}$

αποδείξτε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}f(x)=0}$

Έστω

άνω φράγμα της |f|

. Για

είναι $\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt x}f(x^2) = \frac {2}{x}f(x)}$ . Άρα $\displaystyle{|f(x)| = |\sqrt x f(x^2)|\le M\sqrt x \to 0}$ καθώς $x\to 0+$ .

M.

#3

Για $\displaystyle{x=\frac{1}{\phi ^2}, \ y=1$ έχουμε f(1)=0.}

Για $\displaystyle{y=1$ έχουμε f(x)=0

για κάθε $χ\ne \frac{1}{\phi ^2}}$ .

Για $\displaystyle{x=y=\frac{1}{\phi}}$ έχουμε $\displaystyle{f(\frac{1}{\phi ^2})=0}$

Άρα f(x)=0

για κάθε

συναρτησιακή με φραγμένη, ζητείται όριο (Γ.216)

συναρτησιακή με φραγμένη, ζητείται όριο (Γ.216)

Re: συναρτησιακή με φραγμένη, ζητείται όριο (Γ.216)

Re: συναρτησιακή με φραγμένη, ζητείται όριο (Γ.216)

Μέλη σε σύνδεση