Εξάσκηση !

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Εξάσκηση !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιουν 18, 2012 8:25 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f (x+y )\ =\ f (x ) e^{f(y)\ -\ 1 } , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξάσκηση !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιουν 18, 2012 8:41 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f (x+y )\ =\ f (x ) e^{f(y)\ -\ 1 } , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Για \displaystyle{x=y=0} έχουμε

\displaystyle{f(0)=f(0)e^{f(0)-1}}, άρα \displaystyle{f(0)=1} ή \displaystyle{f(0)=0.}

Αν \displaystyle{f(0)=0} για \displaystyle{x=0} προκύπτει

\displaystyle{f(y)=0,}

από όπου έχουμε \displaystyle{f(x)=0,~ \forall x,}

Αν \displaystyle{f(0)=1} για \displaystyle{x=0} προκύπτει

\displaystyle{f(y)=e^{f(y)-1},}

από όπου έχουμε \displaystyle{f(x)=1,~ \forall x,}

λόγω της γνωστής ανισότητας \displaystyle{e^{x-1}\geq x} με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν \displaystyle{x=1.}

Οι συναρτήσεις \displaystyle{f(x)=1,~ \forall x, f(x)=0,~\forall x} προφανώς ικανοποιούν την αρχική, άρα είναι οι ζητούμενες.


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξάσκηση !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Αύγ 16, 2012 9:54 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης