Εξάσκηση!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Εξάσκηση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιουν 18, 2012 8:02 pm

Η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} είναι τέτοια ώστε 4f(f(x)) = 2f(x) + x , για κάθε x \in \mathbb{R}.
Να δείξετε ότι \displaystyle{ f(x) = 0 \iff x=0.}


Θανάσης Κοντογεώργης
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Εξάσκηση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Δευ Ιουν 18, 2012 10:11 pm

Ας δείξουμε πρώτα ότι η συνάρτηση είναι "1-1".
Έστω x_1, x_2 \in R ώστε
\displaystyle f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow 4f(f(x_1))=4f(f(x_2)) \Rightarrow 2f(x_1)+x_1=2f(x_2)+x_2 \Rightarrow x_1=x_2

Θέτοντας x=0 στην συναρτησιακή προκύπτει: \displaystyle 2f(f(0))=f(0) (*)

Και θέτοντας x=f(0) προκύπτει: \displaystyle 4f(f(f(0)))=2f(f(0))+f(0) \Rightarrow f(f(f(0)))=f(f(0)) \Rightarrow f(f(0))=f(0)

Χρησιμοποιώντας το τελευταίο συμπέρασμα στην (*) προκύπτει \displaystyle f(0)=0

Άρα το μηδέν είναι σημείο μηδενισμού της \displaystyle f(x)=0 και λόγω της "1-1" είναι μοναδικό.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξάσκηση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Αύγ 16, 2012 9:54 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης