Συναρτησιακή!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{xf\left(\frac{x}{a}\right)-f\left(\frac{a}{x}\right)=b,}$ για κάθε $x\in \Bbb{R}^*,$

όπου $a,b\in \Bbb{R},\ a\ne 0.$

vasilis.volos.13 · #2

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{xf\left(\frac{x}{a}\right)-f\left(\frac{a}{x}\right)=b,}$ για κάθε $x\in \Bbb{R}^*,$ (1)

όπου $a,b\in \Bbb{R},\ a\ne 0.$

Μια προσπάθεια

Θέτω όπου

το

στην αρχική οπότε θα έχω

(1) $\Rightarrow axf(x)-f \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)=b \:\: x \in \Bbb{R^*}$ (2)

Θέτω στην δεύτερη όπου

το $\displaystyle \frac{1}{x}$ πότε θα έχω

(2) $\Rightarrow \displaystyle \frac{a}{x}f\left(\frac{1}{x} \right)-f\left(x \right) =b\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{\left(f(x)+b \right)x}{a}$

Οπότε αντικαθιστώντας τώρα έχω (2) $\Rightarrow \displaystyle axf(x)-\frac{\left(f(x)+b \right)x}{a}=b \Leftrightarrow \;a^2xf(x)-xf(x)-bx=ab\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \displaystyle f\left(x \right)\left(a^2x-x \right)=ab+bx \Leftrightarrow f(x)=\frac{ab+bx}{a^2x-x}\;x\in \Bbb{R^*}$

vasilis.volos.13 · #3

Μια απορία. Η παραπάνω συνάρτηση μπορεί να οριστεί για κάθε $a\neq0$ γιατί από ότι προκύπτει ο τύπος θα είναι καλά ορισμένος μόνο όταν a=0

το οποίο όμως αντιβαίνει στα δεδομένα της άσκησης . Κάνω κάπου λάθος ??

Atemlos · #4

Έχεις ένα λαθάκι στις πράξεις λίγο πριν το τέλος είναι a^2

αντί

.

vasilis.volos.13 · #5

Εντάξει το διόρθωσα μόνο που τώρα εμφανίζονται οι περιορισμοί $a\neq \pm 1$

Atemlos · #6

vasilis.volos.13 έγραψε:Εντάξει το διόρθωσα μόνο που τώρα εμφανίζονται οι περιορισμοί $a\neq \pm 1$

Πρέπει να δούμε και τι γίνεται σε αυτες τις δυο περιπτώσεις.Παρατηρώ οτι αν a=1

τοτε

γιατί;

vasilis.volos.13 · #7

Από ότι φαίνεται απλά θα πρέπει να προστεθούν και οι δύο παραπάνω περιορισμοί

Συναρτησιακή!

Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση