Συναρτησιακή!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιουν 05, 2012 2:33 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}\to\Bbb{R} τέτοιες ώστε

\displaystyle{xf\left(\frac{x}{a}\right)-f\left(\frac{a}{x}\right)=b,} για κάθε x\in \Bbb{R}^*,

όπου a,b\in \Bbb{R},\ a\ne 0.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
vasilis.volos.13
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 07, 2010 7:41 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συναρτησιακή!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasilis.volos.13 » Πέμ Ιουν 07, 2012 6:15 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}\to\Bbb{R} τέτοιες ώστε

\displaystyle{xf\left(\frac{x}{a}\right)-f\left(\frac{a}{x}\right)=b,} για κάθε x\in \Bbb{R}^*, (1)

όπου a,b\in \Bbb{R},\ a\ne 0.


Μια προσπάθεια

Θέτω όπου x το ax στην αρχική οπότε θα έχω

(1) \Rightarrow axf(x)-f \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)=b \:\: x \in \Bbb{R^*} (2)

Θέτω στην δεύτερη όπου x το \displaystyle \frac{1}{x} πότε θα έχω

(2) \Rightarrow \displaystyle \frac{a}{x}f\left(\frac{1}{x} \right)-f\left(x \right) =b\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{\left(f(x)+b \right)x}{a}

Οπότε αντικαθιστώντας τώρα έχω (2)\Rightarrow \displaystyle axf(x)-\frac{\left(f(x)+b \right)x}{a}=b \Leftrightarrow \;a^2xf(x)-xf(x)-bx=ab\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \displaystyle f\left(x \right)\left(a^2x-x \right)=ab+bx \Leftrightarrow f(x)=\frac{ab+bx}{a^2x-x}\;x\in \Bbb{R^*}
τελευταία επεξεργασία από vasilis.volos.13 σε Πέμ Ιουν 07, 2012 10:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Βασίλης Ευαγγέλου
Άβαταρ μέλους
vasilis.volos.13
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 07, 2010 7:41 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συναρτησιακή!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasilis.volos.13 » Πέμ Ιουν 07, 2012 10:28 pm

Μια απορία. Η παραπάνω συνάρτηση μπορεί να οριστεί για κάθε a\neq0 γιατί από ότι προκύπτει ο τύπος θα είναι καλά ορισμένος μόνο όταν a=0 το οποίο όμως αντιβαίνει στα δεδομένα της άσκησης . Κάνω κάπου λάθος ??


Βασίλης Ευαγγέλου
Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Re: Συναρτησιακή!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Atemlos » Πέμ Ιουν 07, 2012 10:38 pm

Έχεις ένα λαθάκι στις πράξεις λίγο πριν το τέλος είναι a^2 αντί x^2 .


Άβαταρ μέλους
vasilis.volos.13
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 07, 2010 7:41 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συναρτησιακή!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasilis.volos.13 » Πέμ Ιουν 07, 2012 10:45 pm

Εντάξει το διόρθωσα μόνο που τώρα εμφανίζονται οι περιορισμοί a\neq \pm 1


Βασίλης Ευαγγέλου
Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Re: Συναρτησιακή!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Atemlos » Πέμ Ιουν 07, 2012 10:50 pm

vasilis.volos.13 έγραψε:Εντάξει το διόρθωσα μόνο που τώρα εμφανίζονται οι περιορισμοί a\neq \pm 1
Πρέπει να δούμε και τι γίνεται σε αυτες τις δυο περιπτώσεις.Παρατηρώ οτι αν a=1 τοτε b=0 γιατί;


Άβαταρ μέλους
vasilis.volos.13
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 07, 2010 7:41 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συναρτησιακή!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasilis.volos.13 » Πέμ Ιουν 07, 2012 10:52 pm

Από ότι φαίνεται απλά θα πρέπει να προστεθούν και οι δύο παραπάνω περιορισμοί


Βασίλης Ευαγγέλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης