Συναρτησιακή ανισότητα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιουν 05, 2012 2:30 pm

Έστω f:(0,\infty)\to \Bbb{R} συνάρτηση τέτοια ώστε f(x)+f(y)\geq 2f(x+y), για κάθε x,y\in (0,\infty).
Να δείξετε ότι f(x)+f(y)+f(z)\geq 3f(x+y+z), για κάθε x,y,z\in (0,\infty).


Θανάσης Κοντογεώργης
Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Συναρτησιακή ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Τρί Ιουν 05, 2012 2:55 pm

Καλησπέρα Θανάση. Μία προσπάθεια:

Ισχύει λόγω της ιδιότητας της f :

\displaystyle{ 3f(x+y+z) \leq \frac{ \sum f(x+y) + \sum f(z) }{2} \leq \frac{\sum \frac{f(x)+f(y)}{2} + \sum f(z)}{2} = f(x) + f(y) + f(z)  }


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιουν 05, 2012 2:59 pm

Grigoris K. έγραψε:Καλησπέρα Θανάση. Μία προσπάθεια:

Ισχύει λόγω της ιδιότητας της f :

\displaystyle{ 3f(x+y+z) \leq \frac{ \sum f(x+y) + \sum f(z) }{2} \leq \frac{\sum \frac{f(x)+f(y)}{2} + \sum f(z)}{2} = f(x) + f(y) + f(z)  }

:coolspeak: :10sta10:


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Αύγ 09, 2012 7:33 pm

Θα μπορούσε κάποιος να γράψει πιο αναλυτικά την λύση χωρίς αθροίσματα γιατί δεν μπορώ να παρακολουθήσω τον συλλογισμό;


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Αύγ 09, 2012 7:39 pm

parmenides51 έγραψε:Θα μπορούσε κάποιος να γράψει πιο αναλυτικά την λύση χωρίς αθροίσματα γιατί δεν μπορώ να παρακολουθήσω τον συλλογισμό;

Κυκλική εφαρμογή του 2f((x+y)+z)\leq f(x+y)+f(z)...


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Αύγ 09, 2012 7:54 pm

Ευχαριστώ, ας την γράψω αναλυτικά τότε

\displaystyle{ 2f(x+y+z)=2f((x+y)+z) \leq f(x+y) + f(z)  \leq  \frac{f(x)+f(y)}{2} +  f(z) }
\displaystyle{ 2f(x+y+z)=2f((x+z)+y) \leq f(x+z) + f(y)  \leq  \frac{f(x)+f(z)}{2} +  f(y) }
\displaystyle{ 2f(x+y+z)=2f((y+z)+x) \leq f(y+z) + f(x)  \leq  \frac{f(y)+f(z)}{2} +  f(x) }

οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

\displaystyle{ 6f(x+y+z)\leq  \frac{2f(x)+2f(y)+2f(z)}{2} +  f(x)+f(y)+f(z) }

\displaystyle{ \Leftrightarrow 6f(x+y+z)\leq  2f(x)+2f(y)+2f(z) }

\displaystyle{ \Leftrightarrow 3f(x+y+z)\leq  f(x)+f(y)+f (z) }

\displaystyle{  \Leftrightarrow  f(x+y+z)\leq  \frac{f(x)+f(y)+f (z)}{3} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες