Βρείτε την τιμή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε την τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Μάιος 18, 2012 8:43 pm

Η συνάρτηση f:\Bbb{R}\to\Bbb{R} είναι τέτοια ώστε f(x^{2}+x+3)+2\cdot f(x^{2}-3x+5) = 6x^{2}-10x+17 , για κάθε x\in\Bbb{R}.
Να βρείτε την τιμή f(2009) .


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Βρείτε την τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μάιος 19, 2012 11:51 am

Θα δουλεψουμε με μετασχηματισμούς. Χρησιμοποιώντας μορφές τριωνύμου, η δοθείσα γράφεται:
\displaystyle{ 
f\left[ {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] + 2f\left[ {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 6x^2  - 10x + 17 
}
Τώρα θέτω \displaystyle{ 
x = u + \frac{1}{2} 
} και έχω:
\displaystyle{ 
f\left[ {\left( {u + 1} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] + 2f\left[ {\left( {u - 1} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 6u^2  - 4u + \frac{{27}}{2},\forall u\in\mathbb{R} 
} (1)
Αν θέσω τώρα όπου u\rightarrow -u, θα πάρω:
\displaystyle{ 
f\left[ {\left( {u - 1} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] + 2f\left[ {\left( {u + 1} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 6u^2  + 4u + \frac{{27}}{2} 
}
Αν πολλαπλασιάσω με -2 και προσθέσω(στην ουσία απαλείφω τον έναν όρο) στην (1), τότε μετά τις πράξεις θα πάρω:
\displaystyle{ 
f\left[ {\left( {u + 1} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 2u^2  + 4u + \frac{9}{2} 
}
οπότε γυρνώντας πίσω θέτω όπου u\rightarrow x-\frac{1}{2} και έχω:
\displaystyle{ 
f\left[ {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 2x^2  + 2x + 3 \Rightarrow f\left[ {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 2(x^2  + x + 3) - 3 \Rightarrow f\left[ {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] = 2\left[ {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2  + \frac{{11}}{4}} \right] - 3 
}
Τώρα θέτω \displaystyle{ 
x \to  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt {8025} }}{2} 
} (***)
και λαμβάνω:
\displaystyle{ 
f(2009) = 2 \cdot 2009 - 3 = 4015. 
}
(***) είναι η μία από τις δύο ρίζες της εξίσωσης: \displaystyle{ 
x^2  + x + 3 = 2009 
}


Χρήστος Κυριαζής
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε την τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιουν 08, 2012 2:17 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης