Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5370
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Μάιος 16, 2012 10:01 pm

Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f με f(2)=-1 έχει την ιδιότητα \displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 } για κάθε x στο \mathbb R.
Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το f(0) ;

Αν παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση f(x)=1-x έχει αυτή την ιδιότητα, λογικά η απάντηση θα είναι : f(0)=1.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Οκτ 28, 2012 8:54 pm

Επαναφορά!


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Πέμ Σεπ 12, 2013 12:24 am

\displaystyle{{{f}^{2}}(x)+f(f(x))={{x}^{2}}-x+1\text{   (1)}}

Έστω f(0)=k
Τότε από την (1) για x=0 έχουμε
\displaystyle{{{f}^{2}}(0)+f(f(0))=1\text{   }}
Άρα
\displaystyle{{{k}^{2}}+f(k)=1\text{   }\Leftrightarrow f(k)=1-{{k}^{2}}}
Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε

\displaystyle{\begin{align} 
  & {{f}^{2}}(k)+f(f(k))={{k}^{2}}-k+1\text{   }\Leftrightarrow  \\  
 &  \\  
\end{align}}
\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+f\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow}
\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+1-{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow }

\displaystyle{{{k}^{2}}-k=0\Leftrightarrow}
\displaystyle{k=0\text{    }}
ή
\displaystyle{\text{   k=1}}
Όμως το f(0)=0 από την (1) απορρίπτεται άρα f(0)=1
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Τετ Σεπ 18, 2013 12:48 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Πέμ Σεπ 12, 2013 1:36 am

pap65 έγραψε:\displaystyle{{{f}^{2}}(x)+f(f(x))={{x}^{2}}-x+1\text{   (1)}}
Έστω f(0)=k
Τότε από την (1) για x=0 έχουμε \displaystyle{{{f}^{2}}(0)+f(f(0))=1\text{   }}
Άρα \displaystyle{{{k}^{2}}+f(k)=1\text{   }\Leftrightarrow f(k)=1-{{k}^{2}}}
Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε
\displaystyle{\begin{align} 
  & {{f}^{2}}(k)+f(f(k))={{k}^{2}}-k+1\text{   }\Leftrightarrow  \\  
 &  \\  
\end{align}}
\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+f\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow }
\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+1-\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow }
\displaystyle{{{k}^{2}}-k=0\Leftrightarrow }
\displaystyle{k=0\text{    }}ή \displaystyle{\text{   k=1}}
Όμως το f(0)=0 από την (1) απορρίπτεται άρα f(0)=1
Νομίζω υπάρχει λάθος. Για να βρεις το \displaystyle{f(1-k^2)} υπέθεσες πως \displaystyle{k=1-k^2}.


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
abgd
Δημοσιεύσεις: 177
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Σεπ 12, 2013 2:08 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f με f(2)=-1 έχει την ιδιότητα \displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 } για κάθε x στο \mathbb R.
Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το f(0) ;

Αν παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση f(x)=1-x έχει αυτή την ιδιότητα, λογικά η απάντηση θα είναι : f(0)=1.

Μπάμπης
Για \displaystyle x=2... \displaystyle f(-1)=2 και εφόσον \displaystyle f(2)=-1 η συνάρτηση θα πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα.

Από το Bolzano υπάρχουν \displaystyle x_0,x_1 \in(-1,2), \ \ \ x_0<x_1 τέτοια ώστε \displaystyle f(x_0)=1,\ \ f(x_1)=0

Για \displaystyle x=x_0... \displaystyle f(1)=x_0^2-x_0

Για \displaystyle x=x_1... \displaystyle f(0)=x_1^2-x_1+1

\displaystyle x_0>1\Rightarrow f(x_0)<f(1)\Rightarrow 1<x_0^2-x_0 \Rightarrow x_0>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x_1>\frac{1+\sqrt{5}}{2}
οπότε
\displaystyle  x_1^2-x_1+1>2 \Rightarrow f(0)>f(-1) άτοπο.

Συνεπώς \displaystyle x_0\leq 1

Είναι
\displaystyle  0\leq x_0 \leq 1 \Leftrightarrow x_0^2-x_0 \leq 0<x_1^2-x_1+1 \Leftrightarrow f(1) \leq f(x_1)< f(0)

\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_1\leq1\Leftrightarrow x_1^2-x_1+1 \leq1 \Leftrightarrow f(0)\leq f(x_0)\Leftrightarrow x_0 \leq 0

Άρα \displaystyle x_0=0 και έτσι \displaystyle f(0)=1, \ \ f(1)=0


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Σεπ 12, 2013 2:43 pm

abgd έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f με f(2)=-1 έχει την ιδιότητα \displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 } για κάθε x στο \mathbb R.
Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το f(0) ;

Αν παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση f(x)=1-x έχει αυτή την ιδιότητα, λογικά η απάντηση θα είναι : f(0)=1.

Μπάμπης
Για \displaystyle x=2... \displaystyle f(-1)=2 και εφόσον \displaystyle f(2)=-1 η συνάρτηση θα πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα.

Από το Bolzano υπάρχουν \displaystyle x_0,x_1 \in(-1,2), \ \ \ x_0<x_1 τέτοια ώστε \displaystyle f(x_0)=1,\ \ f(x_1)=0

Για \displaystyle x=x_0... \displaystyle f(1)=x_0^2-x_0

Για \displaystyle x=x_1... \displaystyle f(0)=x_1^2-x_1+1

\displaystyle x_0>1\Rightarrow f(x_0)<f(1)\Rightarrow 1<x_0^2-x_0 \Rightarrow x_0>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x_1>\frac{1+\sqrt{5}}{2}
οπότε
\displaystyle  x_1^2-x_1+1>2 \Rightarrow f(0)>f(-1) άτοπο.

Συνεπώς \displaystyle x_0\leq 1

Είναι
\displaystyle  0\leq x_0 \leq 1 \Leftrightarrow x_0^2-x_0 \leq 0<x_1^2-x_1+1 \Leftrightarrow f(1) \leq f(x_1)< f(0)

\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_1\leq1\Leftrightarrow x_1^2-x_1+1 \leq1 \Leftrightarrow f(0)\leq f(x_0)\Leftrightarrow x_0 \leq 0

Άρα \displaystyle x_0=0 και έτσι \displaystyle f(0)=1, \ \ f(1)=0


Ωραίος :coolspeak:


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης