Συναρτήσεις 20

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 20

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τετ Μάιος 16, 2012 10:29 am

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R\rightarrow R, για τις οποίες ισχύουν :

g(x)\neq 0, για κάθε x \in (-1,0)\cup{(0,2)}, με g(-1)>0 και g(2)<0,

3x^{4}f(x)-f^{3}(x)=2x^{6}, για κάθε x \in R.

1. Να βρείτε το g(0).

2. Να αποδείξετε ότι f(x)=0\Leftrightarrow x=0.

3. Αν επιπλέον ισχύει f(x)=xg(x), για κάθε x \in R, τότε :

i. Να βρείτε το πρόσημο της g.

ii. Να βρείτε τον τύπο της f.


Γιώργος Κ.
Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 20

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Πέμ Μάιος 17, 2012 9:57 pm

Επαναφορά.


Γιώργος Κ.
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συναρτήσεις 20

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Μάιος 17, 2012 11:08 pm

...γιά να μη μένουν αναπάντητες τέτοιες μέρες...

1. Επειδή g(x)\ne 0για κάθε x\in (-1,0)\cup (0,2),και g(-1)>0 και g(2)<0 αφού g συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο

στα διαστήματα [-1,0),\,\,\,(0,2] άρα g(x)>0,\,\,\,\,x\in [-1,\,\,\,0) και g(x)<0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,\,2]

Ακόμη επειδή λόγω συνέχειας θα ισχύουν \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=g(0)\ge 0,\,\,\,\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=g(0)\le 0

λόγω του πρόσημου των τιμών της g, προκύπτει αναγκαία g(0)=0

2. Προφανώς για x=0 στην 3{{x}^{4}}f(x)-{{f}^{3}}(x)=2{{x}^{6}}προκύπτει ότι -{{f}^{3}}(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0. Και τώρα αν υπάρχει {{x}_{0}}\ne 0 ώστε

f({{x}_{0}})=0 θα ισχύει από την ισότητα 3x_{0}^{4}f({{x}_{0}})-{{f}^{3}}({{x}_{0}})=2x_{0}^{6}\Leftrightarrow 0=2x_{0}^{6}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0 άτοπο άρα f(x)=0\Leftrightarrow x=0

3. i) Λόγω του f(x)=0\Leftrightarrow x=0 θα είναι f(x)\ne 0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\,0)\cup (0,\,\,\,+\infty )επομένως λόγω της ισότητας f(x)=xg(x) θα είναι

xg(x)\ne 0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\,0)\cup (0,\,\,\,+\infty ) και αφού η xg(x) συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο

σε κάθε ένα από τα (-\infty ,\,\,\,0),\,\,\,\,\,(0,\,\,\,+\infty ) και αφού (-1)g(-1)<0 θα είναι xg(x)<0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\,0) άρα g(x)>0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\,0) και αφού 2g(2)<0 θα είναι xg(x)<0,\,\,\,\,x\in (\,0,\,\,\,+\infty ) άρα g(x)<0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,\,+\infty )

ii) Με την βοήθεια του σχήματος Horner προκύπτει από 3{{x}^{4}}f(x)-{{f}^{3}}(x)=2{{x}^{6}}\Leftrightarrow {{f}^{3}}(x)-3{{x}^{4}}f(x)+2{{x}^{6}}=0 ότι \left( f(x)-{{x}^{2}} \right)\left( {{f}^{2}}(x)+{{x}^{2}}f(x)-2{{x}^{4}} \right)=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left( f(x)-{{x}^{2}} \right)\left( f(x)-{{x}^{2}} \right)\left( f(x)+2{{x}^{2}} \right)=0

\Leftrightarrow {{\left( f(x)-{{x}^{2}} \right)}^{2}}\left( f(x)+2{{x}^{2}} \right)=0,\,\,\,(2)

Τώρα από (i) επειδή f(x)=xg(x)<0,\,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\,0)\cup (0,\,\,\,+\infty ) θα είναι

{{\left( f(x)-{{x}^{2}} \right)}^{2}}<0,\,\,\,\,x\ne 0 επομένως από (2) f(x)+2{{x}^{2}}=0,\,\,\,\,\,x\ne 0 άρα

f(x)=-2{{x}^{2}},\,\,\,\,x\ne 0 και επειδή f(0)=0 θα είναι f(x)=-2{{x}^{2}},\,\,\,\,x\in R

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 20

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Πέμ Μάιος 17, 2012 11:19 pm

:10sta10:


Γιώργος Κ.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης