Συναρτήσεις 19

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 19

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τρί Μάιος 15, 2012 10:27 am

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\ln \frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}.

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της..

2. Να εξετάσετε αν το 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της.

3. Να εξετάσετε αν η f είναι αντιστρέψιμη.

4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή και περιοδική.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 19

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Μάιος 15, 2012 11:33 am

Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\ln \frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}.
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της..
2. Να εξετάσετε αν το 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της.
3. Να εξετάσετε αν η f είναι αντιστρέψιμη.
4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή και περιοδική.
1. Πρέπει : 1+\eta \mu x\ne 0 \Leftrightarrow \eta \mu x\ne -1 και \displaystyle{\frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}>0\Leftrightarrow (1+\eta \mu x)(1-\eta \mu x)>0\Leftrightarrow 1-\eta \mu^2 x >0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu^2 x>0 \Leftrightarrow\sigma \upsilon \nu x\ne 0}.

Tελικά, \displaystyle{D_f=\mathbb R-\{x\in \mathbb R / x=2k\pi\pm \frac{\pi}{2},~k\in \mathbb Z\}}.

2. Το 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της f αν και μόνο αν υπάρχει x\in D_f, τέτοιο ώστε : \displaystyle{f(x)=1\Leftrightarrow \ln \frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}=1\Leftrightarrow \frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}=e\Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow 1-\eta \mu x=e+e\eta \mu x\Leftrightarrow (1+e)\eta \mu x=1-e\Leftrightarrow \eta \mu x=\frac{1-e}{1+e}} η οποία έχει λύση στο D_f αφού \displaystyle{-1<\frac{1-e}{1+e}<0}.

3. Η f δεν αντιστρέφεται αφού δεν είναι 1-1. Πράγματι, είναι : \displastyle{f(0)=f(2\pi)=0} αλλά 0\ne 2\pi.

4. Για κάθε x\in D_f ισχύουν : -x \in D_f και \displaystyle{f(-x)=\ln \frac{1-\eta \mu (-x)}{1+\eta \mu (-x)}=\ln \frac{1+\eta \mu x}{1-\eta \mu x}=\ln \left(\frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}\right)^{-1}=-\ln \frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}=-f(x)}

άρα η συνάρτηση είναι περιττή.

Για κάθε x\in D_f ισχύουν : x+2\pi \in D_f και \displaystyle{f(x+2\pi)=\ln \frac{1-\eta \mu (x+2\pi)}{1+\eta \mu (x+2\pi)}=\ln \frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}=f(x)} άρα η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2\pi.
Συνημμένα
ln.png
ln.png (25.88 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές


Γιώργος
Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 19

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τρί Μάιος 15, 2012 11:41 am

Καλημέρα Γιώργο.Ένα ερώτημα ακόμη.

5. Αν g(x)=e^{x}+e^{-x}, να εκφράσετε συναρτήσει της \epsilon \phi x τη συνάρτηση gof.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 19

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Μάιος 15, 2012 11:56 am

Γιώργος Κ77 έγραψε:Καλημέρα Γιώργο.Ένα ερώτημα ακόμη.

5. Αν g(x)=e^{x}+e^{-x}, να εκφράσετε συναρτήσει της \epsilon \phi x τη συνάρτηση gof.
Kαλημέρα. Για τη σύνθεση έχουμε : \displaystyle{D_{g\circ f}=\{x\in D_f / f(x)\in D_g\}=\{x\in D_f / f(x)\in \mathbb R\}=D_f}.

Για κάθε x\in D_{g\circ f} είναι : \displaystyle{(g\circ f)(x)=g(f(x))=e^{f(x)}+e^{-f(x)}\overset{4.}=e^{f(x)}+e^{f(-x)}=\frac{1-\eta \mu x}{1+\eta \mu x}+\frac{1+\eta \mu x}{1-\eta \mu x}=}

\displaystyle{=\frac{(1-\eta \mu x)^2+(1+\eta \mu x)^2}{1-\eta \mu^2 x}=\frac{2+2\eta \mu^2 x}{\sigma \upsilon \nu^2x}=\frac{2}{\sigma \upsilon \nu^2x}+\frac{2\eta \mu^2 x}{\sigma \upsilon \nu^2x}=2(1+\epsilon \phi^2x)+2\epsilon \phi^2x=4\epsilon \phi^2x+2}.


Γιώργος
Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 19

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τρί Μάιος 15, 2012 11:58 am

:coolspeak:


Γιώργος Κ.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης