Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Δευ Μάιος 07, 2012 10:11 pm

Καλησπέρα
Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} με \displaystyle{f(1) = 2} και \displaystyle{|xf(y) - yf(x)| \le 2} για κάθε \displaystyle{x,y \in R}
Να δείξετε ότι \displaystyle{f(0) = 0} και ότι \displaystyle{f(x) = 2x}
Καμια ιδέα για το δεύτερο ;
Πέτρος


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μάιος 07, 2012 10:19 pm

δυο ιδέες εδώ κι άλλες εδώ


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Δευ Μάιος 07, 2012 10:28 pm

Μήπως είναι λάθος η ανισοϊσοτική στο 2ο μέλος ;


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μάιος 07, 2012 10:34 pm

Δεν νομίζω, σωστή μου φαίνεται

τα γράφω σε απόκρυψη αφού ζήτησες ιδέα κι όχι λύση
βρίσκω με ορισμό παραγώγου πως \displaystyle{g'(x)=0} με \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{x}}


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Δευ Μάιος 07, 2012 10:40 pm

ok ευχαριστω


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μάιος 07, 2012 10:59 pm

μάλλον δεν βγαίνει με ορισμό παραγώγου, είχα κάνει λάθος πράξεις, σωστός είναι ο δοσμένος τύπος,
αντιγράφω την λύση που έχω μπροστά μου γιατί είναι λιγάκι δύσκολη για να την περιγράψω, εντός ολίγου


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Συναρτησιακή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Δευ Μάιος 07, 2012 11:01 pm

Μαθηματικός έγραψε:ok ευχαριστω
Δε χρειάζεται\displaystyle{{\left( {x - y} \right)^2}} στο δεύτερο μέλος ;


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Συναρτησιακή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Δευ Μάιος 07, 2012 11:03 pm

Μαθηματικός έγραψε:
Μαθηματικός έγραψε:ok ευχαριστω
Δε χρειάζεται\displaystyle{{\left( {x - y} \right)^2}} στο δεύτερο μέλος ;
Ωραία, αναμένω


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μάιος 07, 2012 11:17 pm

Μαθηματικός έγραψε:Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} με \displaystyle{f(1) = 2} και \displaystyle{|xf(y) - yf(x)| \le 2} για κάθε \displaystyle{x,y \in R}
Να δείξετε ότι \displaystyle{f(0) = 0} και ότι \displaystyle{f(x) = 2x}
Αν \displaystyle{x,y\ne 0} τότε \displaystyle{0\le \left|\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}\right|\le \frac{2}{|xy|}}

κι επειδή \displaystyle{\lim_{y\rightarrow +\infty } \frac{2}{|xy|}}=\lim_{y\rightarrow +\infty }0=0 } από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει πως

\displaystyle{\lim_{y\rightarrow +\infty }\left|\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}\right|=0 \Leftrightarrow \lim_{y\rightarrow +\infty }\frac{f(y)}{y}=\frac{f(x)}{x} }

δηλαδή \displaystyle{\frac{f(x)}{x}\right)=c} με \displaystyle{c\in\mathbb{R}} σταθερά \displaystyle{\Leftrightarrow f(x)=cx } για \displaystyle{x\ne 0} (1)

Αν \displaystyle{y=0} και \displaystyle{x\ne 0} τότε από την αρχική έχουμε πως \displaystyle{|xf(0)|\le 2 \Rightarrow  0\le |f(0)| \le \frac{2}{|x|}}

κι επειδή \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2}{|x|}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }0=0 } από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει πως

\displaystyle{f(0)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(0)=0} (2)

άρα από (1),(2) έχουμε πως \displaystyle{f(x)=cx } για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} κι επειδή \displaystyle{f(1)=2\Rightarrow c=2}

άρα \displaystyle{ f(x)=2x } για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}}

αντιγραφή από Γιάννη Μπαιλάκη
edit Διόρθωσα το \displaystyle{2} στο β' μέλος στις ανισώσεις, εκ παραδρομής είχα βάλει \displaystyle{1}
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Μάιος 07, 2012 11:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Συναρτησιακή

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Δευ Μάιος 07, 2012 11:24 pm

Ευχαριστώ καλό βράδυ


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Μάιος 08, 2012 4:18 pm

προτάθηκε πάλι εδώ και λύθηκε εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες