Να βρεθούν...

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει : $2 f(x+y)=f(x+2y)+x^3,\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}$

Στέλιος Μαρίνης · #2

Μήπως έχεις κάποιο λάθος στην πληκτρολόγηση; Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

giannisn1990 · #3

με

παίρνουμε $f(x)=x^{3}$ η οποία δεν επαληθεύει

#4

giannisn1990 έγραψε:με παίρνουμε $f(x)=x^{3}$ η οποία δεν επαληθεύει

Α.Κυριακόπουλος · #5

Φωτεινή έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει : $2 f(x+y)=f(x+2y)+x^3,\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}$

● Όταν λέμε: «να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις…», εννοούμε: «να βρεθεί το σύνολο των συναρτήσεων…», το οποίο βεβαίως μπορεί να είναι το κενό σύνολο. Δηλαδή μπορεί τέτοια συνάρτηση να μην υπάρχει.
● Επομένως, η εκφώνηση της άσκησης είναι εντάξει και η απάντηση είναι ότι: « τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει». Γιατί, όπως έγραψε και ο giannisn 1990, με y=0 βρίσκουμε μια συνάρτηση, η οποία δεν επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.
Σχόλιο. Βλέπουμε την αναγκαιότητα της επαλήθευσης, όταν δεν διατηρούμε τις ισοδυναμίες.

Στέλιος Μαρίνης · #6

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Φωτεινή έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει : $2 f(x+y)=f(x+2y)+x^3,\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}$
● Όταν λέμε: «να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις…», εννοούμε: «να βρεθεί το σύνολο των συναρτήσεων…», το οποίο βεβαίως μπορεί να είναι το κενό σύνολο. Δηλαδή μπορεί τέτοια συνάρτηση να μην υπάρχει.
● Επομένως, η εκφώνηση της άσκησης είναι εντάξει και η απάντηση είναι ότι: « τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει». Γιατί, όπως έγραψε και ο giannisn 1990, με y=0 βρίσκουμε μια συνάρτηση, η οποία δεν επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.
Σχόλιο. Βλέπουμε την αναγκαιότητα της επαλήθευσης, όταν δεν διατηρούμε τις ισοδυναμίες.

Καλησπέρα,
Γνωστά αυτά Αντώνη, αλλά δεν περίμενα σε θέμα που δε χαρακτηρίστηκε για μαθητές να τεθεί τόσο απλή άσκηση με συνάρτηση που είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει, γι' αυτό ρώτησα αν υπήρχε λάθος στην πληκτρολόγηση. Μάλλον έπρεπε να μπει σε ενότητα "για μαθητές", οι ποίοι πράγματι χρειάζονται τέτοια παραδείγματα για να διδαχθούν από τα λάθη τους.

#7

Στέλιο καλημέρα

$\bullet$ Κατά πρώτον

Την άσκηση αυτή δεν την έδωσα στο φάκελο των μαθητών αλλά Ούτε στο φάκελο των καθηγητών , οπότε μπορεί να απαντήσει όποιος θέλει

$\bullet$ Κατά δεύτερον

Ο λόγος που την έδωσα ήταν για να δούμε
Την αναγκαιότητα της επαλήθευσης όταν δεν διατηρούμε τις ισοδυναμίες

$\bullet$ Κατά τρίτον

Έγραψες :
΄΄ Μάλλον έπρεπε να μπει σε ενότητα "για μαθητές", οι οποίοι πράγματι χρειάζονται τέτοια παραδείγματα για να διδαχθούν από τα λάθη τους. ΄ ΄

Λέω λοιπόν ότι τέτοια παραδείγματα χρειαζόμαστε όλοι μας και όχι μόνο οι μαθητές.

$\bullet$ Και τέλος
Κάποιος θα έχει να μάθει από την συμπλήρωση του Α . Κυριακόπουλου

● Όταν λέμε: «να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις…», εννοούμε: «να βρεθεί το σύνολο των συναρτήσεων…», το οποίο βεβαίως μπορεί να είναι το κενό σύνολο.
Δηλαδή μπορεί τέτοια συνάρτηση να μην υπάρχει.

● Επομένως, η εκφώνηση της άσκησης είναι εντάξει και η απάντηση είναι ότι:
« τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει». Γιατί, όπως έγραψε και ο giannisn 1990, με y=0 βρίσκουμε μια συνάρτηση, η οποία δεν επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.
Σχόλιο. Βλέπουμε την αναγκαιότητα της επαλήθευσης, όταν δεν διατηρούμε τις ισοδυναμίες.
--------------------
Στο χώρο αυτό ( mathematica ) είμαστε πολλοί
Άλλοι γνωρίζουν πολλά ,άλλοι πιο λίγα
Όλοι όμως μαθαίνουν και αυτός πιστεύω είναι και ο λόγος ύπαρξης τους εδώ.

Στέλιος Μαρίνης · #8

Φωτεινή έγραψε:Στέλιο καλημέρα

$\bullet$ Κατά πρώτον

Την άσκηση αυτή δεν την έδωσα στο φάκελο των μαθητών αλλά Ούτε στο φάκελο των καθηγητών , οπότε μπορεί να απαντήσει όποιος θέλει

$\bullet$ Κατά δεύτερον

Ο λόγος που την έδωσα ήταν για να δούμε
Την αναγκαιότητα της επαλήθευσης όταν δεν διατηρούμε τις ισοδυναμίες

$\bullet$ Κατά τρίτον

Έγραψες :
΄΄ Μάλλον έπρεπε να μπει σε ενότητα "για μαθητές", οι οποίοι πράγματι χρειάζονται τέτοια παραδείγματα για να διδαχθούν από τα λάθη τους. ΄ ΄

Λέω λοιπόν ότι τέτοια παραδείγματα χρειαζόμαστε όλοι μας και όχι μόνο οι μαθητές.

$\bullet$ Και τέλος
Κάποιος θα έχει να μάθει από την συμπλήρωση του Α . Κυριακόπουλου
Άλλοι γνωρίζουν πολλά ,άλλοι πιο λίγα
Όλοι όμως μαθαίνουν και αυτός πιστεύω είναι και ο λόγος ύπαρξης τους εδώ.

Καλημερα, Φωτεινή. Δεν έχω αντιληφθεί μάλλον καλά το ρόλο κάθε ενότητας. Πάντως με την απάντησή μου στον Αντώνη εξηγούσα απλώς γιατί πίστεψα ότι επρόκειτο για λάθος στην πληκτρολόγηση και τίποτε άλλο. Μακριά από μένα κάθε σκέψη κριτικής σε οποιονδήποτε στο χώρο αυτό.

Να βρεθούν...

Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Re: Να βρεθούν...

Μέλη σε σύνδεση