Λαθος εκφώνηση ;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Λαθος εκφώνηση ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Τρί Μάιος 01, 2012 11:28 am

Καλημέρα , καλό μήνα.
Η παρακάτω εκφώνηση στέκει;
Έστω συνάρτηση\displaystyle{f:R - \left\{ 0 \right\} \to R} με \displaystyle{f(x) \ne 0}\displaystyle{\forall x \ne 0}, ένα προς ένα και \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = \frac{1}{{f(x)}},x \ne 0}.
Αν \displaystyle{f} γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)} να δείξετε ότι
α)\displaystyle{f(f(x)) = \frac{1}{x}}
β) \displaystyle{f(x)f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 1,x \ne 0}
γ)\displaystyle{f(1) =  - 1\,\,f( - 1) = 1}
Πέτρος


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Λαθος εκφώνηση ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Τρί Μάιος 01, 2012 12:20 pm

dennys
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Τρί Μάιος 01, 2012 12:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Λαθος εκφώνηση ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μάιος 01, 2012 12:39 pm

Δεν υπάρχει πρόβλημα με την εκφώνηση. Δείτε την συζήτηση εδώ. Επειδή ούτε στον σύνδεσμο βλέπω να έχει δοθεί λύση, θα βάλω μια αργότερα αν παραμείνει αναπάντητη.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Λαθος εκφώνηση ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μάιος 01, 2012 3:27 pm

Μαθηματικός έγραψε:Καλημέρα , καλό μήνα.
Η παρακάτω εκφώνηση στέκει;
Έστω συνάρτηση\displaystyle{f:R - \left\{ 0 \right\} \to R} με \displaystyle{f(x) \ne 0}\displaystyle{\forall x \ne 0}, ένα προς ένα και \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = \frac{1}{{f(x)}},x \ne 0}.
Αν \displaystyle{f} γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)} να δείξετε ότι
α)\displaystyle{f(f(x)) = \frac{1}{x}}
β) \displaystyle{f(x)f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 1,x \ne 0}
γ)\displaystyle{f(1) =  - 1\,\,f( - 1) = 1}
Πέτρος
Από την \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = \frac{1}{{f(x)}},\forall x \ne 0}, για \displaystyle{x=f(x)} δίνει \displaystyle{x=\frac {1}{f(f(x))},\ \forall x \neq 0},

άρα \displaystyle{f(f(x))=\frac {1}{x},\ \forall x \neq 0} (2)

Από τη (2) παίρνουμε \displaystyle{f(x)=f^{-1}\left(\frac {1}{x}\right),\ \forall x \neq 0} και από την υπόθεση

\displaystyle{f(x)=\frac {1}{f \left(\frac {1}{x}\right)},\ \forall x \neq 0 \Rightarrow f\left(\frac {1}{x}\right)f(x)=1,\ \forall x \neq 0} (3)

Η (3) για x=1 δίνει \displaystyle{f^2(1)=1 \Rightarrow f(1)=\pm1}.

Αν \displaystyle{f(1)=1}, τότε επειδή η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{(0,+\infty)} έχουμε

\displaystyle{2>1 \Rightarrow f(2)>f(1)=1 \Rightarrow f(f(2))>f(1)=1 \Rightarrow \frac {1}{2}>1}, άτοπο.

Συνεπώς \displaystyle{f(1)=-1} και \displaystyle{f(-1)=f(f(1))=1} και τελειώσαμε.


Σπύρος Καπελλίδης
Aladdin
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Λαθος εκφώνηση ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Τρί Μάιος 01, 2012 9:40 pm

Ευχαριστώ πολύ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης