Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Απρ 20, 2012 8:56 pm

Να βρεθούν όλες οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f:\Bbb{R} \to \Bbb{R} για τις οποίες f(xf(y))=f(x)f(y)

για κάθε x,y \in \Bbb{R}

(Gazeta Matematica)


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6173
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Απρ 20, 2012 9:23 pm

s.kap έγραψε:Να βρεθούν όλες οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f:\Bbb{R} \to \Bbb{R} για τις οποίες f(xf(y))=f(x)f(y)

για κάθε x,y \in \Bbb{R}

(Gazeta Matematica)
Η δοθείσα, για \displaystyle{x=1} γίνεται

\displaystyle{f(f(y))=f(1)f(y),} για κάθε \displaystyle{y\in \mathbb{R}.}

Η δοθείσα, για \displaystyle{y=1} γίνεται

\displaystyle{f(xf(1))=f(x)f(1),} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}.}

Η \displaystyle{f} ως γνησίως μονότονη είναι \displaystyle{1-1}, οπότε, από τις δύο προηγούμενες σχέσεις έχουμε

\displaystyle{f(x)=f(1)x,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}.}

Δηλαδή \displaystyle{f(x)=ax,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} με \displaystyle{a>0,} λόγω του γνήσιου της μονοτονίας

και εύκολα βλέπουμε ότι όλες αυτές ικανοποιούν την αρχική συνθήκη.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης