Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

g.liolios
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Παρ Σεπ 25, 2009 12:03 am

Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από g.liolios » Πέμ Μαρ 29, 2012 11:08 pm

Καλησπέρα σε ολη την παρέα του mathematica.
Έχουμε και λέμε:
Δίνεται η g:R\rightarrow R για την οποία ισχύει οτι g^3(x)+g(x)=2e^x+x. Να δειχθεί οτι έχει σύνολο τιμών το R.

Έχει κανείς καμία ιδέα;


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Μαρ 29, 2012 11:22 pm

Μερικές ιδέες εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.

καλό διάβασμα


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Μαρ 30, 2012 4:30 pm

g.liolios έγραψε: Δίνεται η g:R\rightarrow R για την οποία ισχύει οτι g^3(x)+g(x)=2e^x+x. Να δειχθεί οτι έχει σύνολο τιμών το R.

Έχει κανείς καμία ιδέα;
Η ιδέα που λέγαμε *:

Η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=x^3+x} αντιστρέφεται οπότε

\displaystyle{g^3(x)+g(x)=2e^x+x \Leftrightarrow h(g(x))=2e^x+x \Rightarrow g(x)=h^{-1}(2e^x+x)}



* Επειδή ζητήθηκε υπόδειξη και όχι λύση.


g.liolios
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Παρ Σεπ 25, 2009 12:03 am

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από g.liolios » Κυρ Απρ 01, 2012 8:53 am

Μετά την υπόδειξη του parmenides51:
Θέτουμε \displaystyle{u=2e^x+x}, \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(2e^x+x)}= +\infty άρα οταν x\rightarrow +\infty τότε έχουμε οτι u\rightarrow +\infty. H h είναι γνησίως αύξουσα αρα και η αντίστροφη h^{-1} είναι γνησίως αύξουσα (θέλει απόδειξη που δεν αναφέρω) και \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h(x)}= +\infty άρα \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h^{-1}(x)}=+ \infty. Οπότε \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h^{-1}(2e^x+x)}=\displaystyle{\lim_{u\to +\infty}h^{-1}(u)}=+ \infty, άρα \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)}=+\infty. Με ανάλογη διαδικασία \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)}=-\infty. Τελικά g(R)=R


troulis
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Παρ Σεπ 14, 2012 1:58 pm

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από troulis » Δευ Σεπ 24, 2012 6:45 pm

Δεν μπορούσαμε να γράψουμε ότι η g έχει σύνολο τιμών , το σύνολο τιμών της αντίστροφης της h, δηλαδή το πεδίο ορισμού της h που είναι όλο το R ?


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Σεπ 24, 2012 7:12 pm

troulis έγραψε:Δεν μπορούσαμε να γράψουμε ότι η g έχει σύνολο τιμών , το σύνολο τιμών της αντίστροφης της h, δηλαδή το πεδίο ορισμού της h που είναι όλο το R ?
Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς. Θα μπορούσες να επαναδιατυπώσεις την ερώτηση, έστω με διαφορετικά λόγια;


troulis
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Παρ Σεπ 14, 2012 1:58 pm

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από troulis » Δευ Σεπ 24, 2012 7:27 pm

Αν έγραφα ότι η g έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της h(2e^x+x) , που είναι όλο το R , σωστό δεν θα ήταν?


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Σεπ 24, 2012 7:45 pm

troulis έγραψε:Αν έγραφα ότι η g έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της h(2e^x+x) , που είναι όλο το R , σωστό δεν θα ήταν?
όχι γιατί οι συναρτήσεις h(2e^x+x) και h^{-1}(2e^x+x) δεν είναι μεταξύ τους αντίστροφες από την στιγμή που η σύνθεση τους δεν ισούται με την ταυτοτική συνάρτηση \displaystyle{x}.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Σεπ 24, 2012 8:13 pm

troulis έγραψε:Δεν είναι αντίστροφες επειδή δεν είναι της μορφής h^{-1}(x) ? Αυτό ισχύει για οποιεσδήποτε συναρτήσεις πχ g^{-1}(x-2), ότι δηλαδή δεν έχουν αντίστροφη?Αυτό γράψατε?
Οι συναρτήσεις h(2e^x+x) και h^{-1}(2e^x+x) δεν είναι μεταξύ τους αντίστροφες
γιατί η σύνθεση τους είναι η συνάρτηση \displaystyle{h(2e^{h^{-1}(2e^x+x)}+h^{-1}(2e^x+x))} που προφανώς δεν ισούται με την συνάρτηση \displaystyle{x}

Γενικά η συνάρτηση \displaystyle{f(g(x))} όταν ορίζεται και αντιστρέφεται αυτή καθώς και η \displaystyle{f} και η \displaystyle{g } έχει αντίστροφη την συνάρτηση \displaystyle{g^{-1}(f^{-1}(x))} σε κατάλληλο πεδίο ορισμού

Υ.Γ. Για να γράψεις εκθέτη στο \displaystyle{\LaTeX} πατάς ^{...} όπου ... ο εκθέτης που θες


edit:

Η παράθεση διαγράφτηκε μέχρι να απαντήσω, την αφήνω για να βγαίνει νόημα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης