Όριο αντίστροφης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Όριο αντίστροφης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Πέμ Μαρ 15, 2012 6:48 pm

Έστω \displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}} με \displaystyle{f\left( x \right) = \tfrac{1}{x} - {x^3} + 1}.

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \displaystyle{f}.
β) Να αποδειχθεί οτι η \displaystyle{f} αντιστρέφεται και ότι είναι γνησίως φθίνουσα.
γ) Να βρεθεί το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \tfrac{{{f^{ - 1}}\left( x \right) - x}}{{x + {f^{ - 1}}\left( x \right)}}} αν θεωρήσουμε ότι η αντίστροφη είναι συνεχής.

Ο προβληματισμός μου βρίσκεται στο τρίτο ερώτημα καθώς η λύση που δίνεται πίσω είναι -1. Αν έτεινε στο \displaystyle{ + \infty } νομίζω θα ήταν καλά.

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Μπήκαν τόνοι στον τίτλο για να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς μας.


Γιώργος
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Οριο αντιστροφης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Πέμ Μαρ 15, 2012 7:19 pm

Bρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f{'}(x)=-\cfrac{1}{x^2}-3x^2<0\Rightarrow f(x) \searrow (0,+\infty)

f(Df)=(\lim_{x\to +\infty}f(x),\lim_{x\to 0^{+}})=(-\infty,+\infty)

για την f^{-1}(x): (-\infty,+\infty)\rightarrow (0,+\infty) ,και τα όρια πάνε "ανάποδα."

Eπειδή είναι φν.φθίνουσα θα είναι και "1-1", αρα αντιστρέφεται.

θεωρείται απαραίτητη η μονοτονία της f^{-1}(x), η οποία είναι ίδια με της f(x),

\lim_{x\to -\infty}\cfrac{f^{-1}(x)-x}{x+f^{-1}(x)} θέτω x=-t\rightarrow +\infty\Rightarrow \lim_{-x\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(-x)+x}{-x+f^{-1}(-x)}

lim_{t\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(t)-t}{t+f^{-1}(t)}=\lim_{t\to +\infty}\cfrac{t(\frac{f^{-1}(t)}{t}-1)}{t(1+\frac{f^{-1}(t)}{t})}=-1} γιατί τοlim_{x\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(t)}{t}=0

η μονοτονία της αντίστροφης βοηθάει στα οριά της.

φιλικά
dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
sifis80
Δημοσιεύσεις: 85
Εγγραφή: Τρί Δεκ 30, 2008 12:18 am

Re: Όριο αντίστροφης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sifis80 » Παρ Μαρ 16, 2012 10:09 am

Νομίζω κάτι δεν κολάει με την αντικατάσταση που έγινε στα όρια.


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όριο αντίστροφης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Παρ Μαρ 16, 2012 6:33 pm

Καταρχάς το 2ο ερώτημα καλύτερα να ήταν 1ο.Τώρα στο 3ο γιατί να τα μπλέξουμε τόσο τα πράγματα; Κάνουμε την κλασσική κίνηση θέτοντας x=f(t) οπότε:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{f^{-1}(x)-x}{x+f^{-1}(x)}\stackrel{x=f(t)}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{t-f(t)}{f(t)+t}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{1-\frac{f(t)}{t}}{\frac{f(t)}{t}+1}\stackrel{+\infty/-\infty,u(t)=\frac{f(t)}{t}}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{-u'(t)}{u'(t)}=-1


Στραγάλης Χρήστος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Οριο αντιστροφης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Αύγ 09, 2012 12:15 pm

Το όριο lim_{x\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(t)}{t}=0 στην λύση του dennys δεν είναι προφανές.

Η συνέχεια της αντίστροφης είναι περιττό δεδομένο.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Όριο αντίστροφης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Πέμ Αύγ 09, 2012 11:43 pm

Kαλησπέρα στην υπέροχη παρέα

Θα ήθελα να τονίσω ότι είναι γνωστά τα όρια \cfrac{0}{\pm\infty}=0 και \cfrac{\pm\infty}{0^{\pm}}=\pm\infty

εκτός αν ο Παρμενιδης εννοεί κάτι άλλο.Αν θέλει του στέλνω την απόδειξη αν και δεν νομιζω ότι είναι εκει το θέμα

κατα την ταπεινή μου γνώμη η συνέχεια είναι απαραίτητη της αντίστροφης , γι αυτό δίνεται σε όλη την βιβλιογραφία

καλο βράδυ


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Όριο αντίστροφης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Αύγ 09, 2012 11:50 pm

:oops: δεν είχα προσέξει στην αρχή το
dennys έγραψε: ... για την f^{-1}(x): (-\infty,+\infty)\rightarrow (0,+\infty) ,και τα όρια πάνε "ανάποδα." ...
παρανόηση μου :roll:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης