Μία γρήγορη...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Μία γρήγορη...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 13, 2012 6:45 am

Από έναν τελευταίο Ρουμάνικο Διαγωνισμό (Δημοσιεύεται άλυτη στο τελευταίο Gazeta Matematica)

Να βρεθούν όλες οι μονότονες συναρτήσεις f:\Bbb{R} \to \Bbb{R} για τις οποίες f^2(sinx)-3f(x)+2=0,\ \forall x \in \Bbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Μία γρήγορη...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τρί Μαρ 13, 2012 12:06 pm

\displaystyle{ 
f^2 (\sin x) - 3f(x) + 2 = 0\,\,\,(1)} για κάθε \displaystyle{x \in R}

Για κάθε \displaystyle{k \in Z} έχουμε: \displaystyle{ 
(1)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = k\pi } \,\,\,f^2 (0) - 3f(k\pi ) + 2 = 0\, \Rightarrow f(k\pi ) = \frac{{f^2 (0) + 2}}{3} = r}

Υποθέτουμε ότι η \displaystyle{f} δεν είναι σταθερή. Τότε υπάρχουν \displaystyle{x_1 ,x_2  \in R} με \displaystyle{x_1  \ne x_2 } πχ \displaystyle{x_1  < x_2 } και \displaystyle{f(x_1 ) \ne f(x_2 )\,\,\,(*)}

Υπάρχουν τώρα ακέραιοι \displaystyle{k_1 ,k_2 } ώστε \displaystyle{k_1 \pi  < x_1  < x_2  < k_2 \pi \,\,\,(**)}

\displaystyle{ \bullet \,} Αν η \displaystyle{f} είναι αύξουσα λόγω των \displaystyle{(*)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(**)} παίρνουμε \displaystyle{f(k_1 \pi ) \le f(x_1 ) < f(x_2 ) \le f(k_2 \pi ) \Rightarrow r < r} , άτοπο.

\displaystyle{ \bullet \,} Αν η \displaystyle{f} είναι φθίνουσα λόγω των \displaystyle{(*)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(**)} παίρνουμε \displaystyle{f(k_1 \pi ) \ge f(x_1 ) > f(x_2 ) \ge f(k_2 \pi ) \Rightarrow r > r} , άτοπο

Συνεπώς η \displaystyle{f} είναι σταθερή δηλαδή για κάθε \displaystyle{x \in R} θα είναι \displaystyle{f(x) = c,c} πραγματικός.

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι \displaystyle{c = 1} ή \displaystyle{c = 2} .

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Μία γρήγορη...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Μαρ 13, 2012 1:04 pm



Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Christos.N και 3 επισκέπτες