Σελίδα 1 από 1

Μία απροσδιόριστη

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 09, 2012 11:28 pm
από orestisgotsis
Να υπολογισθεί το \displaystyle{L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}}}.

Re: Μία απροσδιόριστη

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 10, 2012 8:43 am
από Mihalis_Lambrou
orestisgotsis έγραψε:Να υπολογισθεί το \displaystyle{L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}}}.
\displaystyle{ {\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}}} =\left (\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^ { \frac {x^2+1}{x-2} \right)^ \frac{ (x-2)(x^3-1)}{(x^2+1)^2}}

Τώρα, ο μέσα όρος είναι της μορφής \displaystyle{\left( 1+ \frac {1}{y}\right)^y} με y\to \infty. Άρα τείνει στο e.

Ο εκθέτης στην μεγάλη παράσταση τείνει στο 1, άρα όλο μαζί τείνει στο e^1=e.

Xρησιμοποίησα το γνωστό: αν \lim f(x) = A και \lim g(x)=B για θετικά f, A, τότε \lim f(x)^{g(x)} = A^B. H απόδειξη πάει λογαριθμίζοντας καθώς \displaystyle{\ln  f(x)^{g(x)} = g(x) \ln f(x) \to B\ln A = \ln A^B } .

Φιλικά,

Μιχάλης

Re: Μία απροσδιόριστη

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 10, 2012 9:32 pm
από orestisgotsis
Σας ευχαριστώ.

(Η λύση όμως που έχω κάνει είναι για τον διπλανό φάκελο).

Έθεσα \displaystyle{\varphi (x)=\frac{\ln \left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+3} \right)}{\frac{1}{x}} οπότε \displaystyle{\ln \left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+3} \right)=\frac{1}{x}\varphi (x) και \displaystyle{\varphi (x)\to 1,

άρα \displaystyle{\left( \frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)\ln \left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+3} \right)=\frac{1}{x}\cdot \frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}\varphi (x)\to 1.

Από τη συνέχεια της \displaystyle{{e}^{x}} έπεται ότι \displaystyle{{\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+3} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}}}\to {{e}^{1}}=e