Μία ωραία με σταθερό σημείο

#1

Έστωσαν οι πραγματικοί αριθμοί: $a\ge1$ και

, καθώς επίσης και η
συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , ώστε:

$\displaystyle{f(x^7+ax+b)=(f(x))^7+af(x)+b,\forall x\in\mathbb{R}.}$

Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle {x_0\in\mathbb{R}}$ , ώστε $\displaystyle{f(x_0)=x_0}$

#2

Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις g(x)=x^7+ax+b

και

.

Αφού $a\geq 1$ , η

είναι γνησίως αύξουσα

[αν x>y

, τότε $h(x)-h(y)=x^7-y^7+(a-1)(x-y)\geq x^7-y^7>0$ ] .

Επιπλέον, αφού $\lim_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$ και $\lim_{x\to -\infty} h(x)=-\infty$ ,

υπάρχει μοναδικό $x_0\in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε h(x_0)=0

, δηλ.

.

Αφού

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ έπεται ότι

f(x_0)=f(g(x_0))=g(f(x_0))

.

Από τη μοναδικότητα του x_0

έπεται ότι f(x_0)=x_0

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Ευχαριστώ Αχιλλέα, για την άμεση απάντηση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μία ωραία με σταθερό σημείο

Μία ωραία με σταθερό σημείο

Re: Μία ωραία με σταθερό σημείο

Re: Μία ωραία με σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση