Μία ωραία με σταθερό σημείο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μία ωραία με σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Φεβ 18, 2012 7:21 pm

Έστωσαν οι πραγματικοί αριθμοί: a\ge1 και b, καθώς επίσης και η
συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, ώστε:

\displaystyle{f(x^7+ax+b)=(f(x))^7+af(x)+b,\forall x\in\mathbb{R}.}

Να δείξετε ότι υπάρχει \displaystyle {x_0\in\mathbb{R}}, ώστε \displaystyle{f(x_0)=x_0}


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2657
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μία ωραία με σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 18, 2012 7:37 pm

Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις g(x)=x^7+ax+b και h(x)=g(x)-x=x^7+(a-1)x+b.

Αφού a\geq 1, η h είναι γνησίως αύξουσα

[αν x>y, τότε h(x)-h(y)=x^7-y^7+(a-1)(x-y)\geq x^7-y^7>0] .

Επιπλέον, αφού \lim_{x\to +\infty} h(x)=+\infty και \lim_{x\to -\infty} h(x)=-\infty,

υπάρχει μοναδικό x_0\in \mathbb{R} τέτοιο ώστε h(x_0)=0, δηλ. g(x_0)=x_0.

Αφού f(g(x))=g(f(x)) για κάθε x\in \mathbb{R} έπεται ότι

f(x_0)=f(g(x_0))=g(f(x_0)).

Από τη μοναδικότητα του x_0 έπεται ότι f(x_0)=x_0.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μία ωραία με σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Φεβ 18, 2012 7:45 pm

Ευχαριστώ Αχιλλέα, για την άμεση απάντηση.
Από παλιό βιβλίο του J.B, κατά κόσμον Γιάννη Μπαϊλάκη


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης