Ύπαρξη συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ύπαρξη συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιαν 27, 2012 9:14 pm

Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} τέτοια ώστε

-x^2\leq f^2(x)-xf(x)\leq 3x^2-4x+1

για κάθε x\in \mathbb{R};

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιαν 27, 2012 9:24 pm

achilleas έγραψε:Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} τέτοια ώστε

-x^2\leq f^2(x)-xf(x)\leq 3x^2-4x+1

για κάθε x\in \mathbb{R};

Φιλικά,

Αχιλλέας
Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση \displaystyle{f}, έχουμε

\displaystyle{0\leq f^2 (x)-xf(x)+x^2\leq (2x-1)^2} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R},}

η οποία για \displaystyle{x=x_0=\frac{1}{2}} δίνει \displaystyle{f^{2}(x_0)-x_0f(x_0)+x_0 ^2=0,}

άτοπο, αφού αν ισχύει \displaystyle{a^2-ab+b^2=0} πρέπει \displaystyle{a=b=0.}


Μάγκος Θάνος
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Ιαν 27, 2012 9:28 pm

Noμίζω πως όχι.

Αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση θα έπρεπε \left(2f(x)-x \right)^2\leq 13x^2-16x+4 για κάθε πραγματικό x.

Άρα το τριώνυμο του δευτέρου μέλους λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές, άτοπο αφού έχει θετική διακρίνουσα.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιαν 27, 2012 10:16 pm

Ευχαριστώ, Θάνο και Παύλο!

Πράγματι, δεν υπάρχει. Για την ιστορία, η άσκηση υπάρχει σε παλιό βιβλίο με θέματα 1ης Δέσμης ως εξής:

"Αν για τη συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ισχύει

-x^2\leq f^2(x)-xf(x)\leq 3x^2-4x+1

για κάθε x\in \mathbb{R} να βρείτε το \displaystyle{\lim_{x\to \frac{1}{2}} f(x)}."

Χωρίς να τσεκάρω προσεκτικά τη λύση του βιβλίου, η οποία τελικά είναι λανθασμένη,
την έδωσα σε ένα μαθητή, κι έτσι έχουμε μια ακόμα λύση:

Αφού έκανε συμπλήρωση τετραγώνου έφτασε στη σχέση

\displaystyle{-\dfrac{3x^2}{4}\leq (f(x)-x)^2\leq \dfrac{13x^2}{4}-4x+1},

και παίρνοντας όρια κατέληξε στο ότι θα πρέπει \displaystyle{ \lim_{x\to \frac{1}{2}}(f(x)-x)^2=-\dfrac{3}{16}}, \

που προφανώς δεν μπορεί να ισχύει αφού το όριο, αν υπάρχει, δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης