Όριο άγνωστης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Όριο άγνωστης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τρί Ιαν 24, 2012 1:03 am

Έστω \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} συνεχής. Αν \displaystyle{f(0)=1 και για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R} ισχύει \displaystyle{{f}^{2}}(x)=2xf(x)+1, να βρεθούν τα \displaystyle\underset{x\to \,-\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) και \displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\sin \left| x \right|}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Όριο άγνωστης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Ιαν 24, 2012 1:40 am

Έχουμε

\displaystyle{f^{2}(x)-2xf(x)+x^{2}=x^{2}+1\Rightarrow (f(x)-x)^{2}=x^{2}+1} για κάθε \displaystyle{x\epsilon R}.
Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{g(x)=f)x)-x} η οποία είναι συνεχής στο \displaystyle{R} και δεν μηδενίζεται, αφού αν υπήρχε κάποιο

\displaystyle{w\epsilon R:g(w)=0\Rightarrow g^{2}(w)=0\Rightarrow w^{2}+1=0} πράγμα που είναι άτοπο.

Άρα η \displaystyle{g} διατηγρεί σταθερό πρόσημο και επειδή είναι \displaystyle{g(0)=f(0)=1>0\Rightarrow g(x)>0} για κάθε \displaystyle{x}

Άρα \displaystyle{g(x)=\sqrt{x^{2}+1}\Rightarrow f(x)-x=\sqrt{x^{2}+1}\Rightarrow f(x)=\sqrt{x^{2}+1}+x}

Τώρα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=0}

Επίσης

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{sin|x|}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x}{sin|x|}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{x}{|x|}}{\frac{sin|x|}{|x|}}=+00}

διότι

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{x}{|x|})=+00} και

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin|x|}{|x|}=1}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Όριο άγνωστης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιαν 24, 2012 8:58 am

Τελικά δεν ήταν και τόσο άγνωστη :P


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης