Υπολογισμός παραμέτρων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Υπολογισμός παραμέτρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 18, 2012 3:55 pm

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b ώστε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^2}\left( {a\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} - b\sigma \upsilon \nu \frac{2}{x}} \right)} \right] = \frac{3}{2}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός παραμέτρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Ιαν 18, 2012 5:16 pm

Για u>0 έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{u \rightarrow 0^+}\frac{a\sigma \upsilon \nu u-a}{u^2}=\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{a(\sigma \upsilon \nu u-1)}{u^2}=}

\displaystyle{=\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{a(\sigma \upsilon \nu^2 u-1)}{u^2(\sigma \upsilon \nu u+1)}=\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{-a\eta \mu^2u}{u^2(\sigma \upsilon \nu u+1)}=-\frac{a}{2} (I)}

και

\displaystyle{\lim_{u \rightarrow 0^+}\frac{b-b\sigma \upsilon \nu 2u}{u^2}=\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{b(1-\sigma \upsilon \nu 2u)}{u^2}=}

\displaystyle{=\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{b(1-\sigma \upsilon \nu^2 2u)}{u^2(1+\sigma \upsilon \nu 2u)}=\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{b\eta \mu^2 2u}{u^2(1+\sigma \upsilon \nu 2u)}=}

\displaystyle{=\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{4b\eta \mu^2 t}{t^2(1+\sigma \upsilon \nu t)}=\frac{4b}{2} (II)},

θέτοντας στο δεύτερο όριο t=2u.

Αν \displaystyle{f(x)={{x^2}\left( {a\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} - b\sigma \upsilon \nu \frac{2}{x}} \right), x \in \mathbb{R}^*},
τότε θέτοντας στο αρχικό όριο \displaystyle{\frac{1}{x}=u} βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^2}\left( {a\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} - b\sigma \upsilon \nu \frac{2}{x}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{u \to  0^+ } \frac{a\sigma \upsilon \nu u -b\sigma \upsilon \nu2u}{u^2}\right] = }

\displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{u \to  0^+ } \frac{a\sigma \upsilon \nu u -a+a+b-b-b\sigma \upsilon \nu2u}{u^2}\right] = \mathop {\lim }\limits_{u \to  0^+ } \left (\frac{a\sigma \upsilon \nu u -a}{u^2}+\frac{a-b}{u^2}+\frac{b-b\sigma \upsilon \nu2u}{u^2}\right) (III)}

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

* Αν a>b, τότε \displaystyle{\lim_{u \rightarrow 0^+}\frac{a-b}{u^2}=+\infty}, οπότε από την (III) και λόγω των (I),(II) βρίσκουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}, περίπτωση που απορρίπτεται.
** Αν a<b, τότε \displaystyle{\lim_{u \rightarrow 0^+}\frac{a-b}{u^2}=-\infty}, οπότε από την (III) και λόγω των (I),(II) βρίσκουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}, περίπτωση που απορρίπτεται.
*** Αν a=b, τότε από την (III) και λόγω των (I),(II) βρίσκουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\frac{4b-a}{2}=\frac{3a}{2}}.
Συνεπώς για να είναι το όριο ίσο με \displaystyle{\frac{3}{2}} θα πρέπει a=b=1.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός παραμέτρων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 18, 2012 7:40 pm

Εξαιρετικός :clap2: :coolspeak:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης