ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΡΊΖΕΣ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΡΊΖΕΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Κυρ Ιαν 15, 2012 10:40 pm

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x)/R και f(x)=1-10^{x+g(x)}
με f(-1)<0,g(0)<0,g(1)>-1
1)Να αποδείξετε οτιf(x)<1  \forall x \inR
2)Να αποδείξετε οτιg(x)συνεχής στοR
3)Nα αποδ.οτι ηf(x) εχει δυο τουλάχιστον ρίζες ,ετερόσημες.
4)Να αποδ.οτι η g(x)τέμνει την ευθεία y=-x σε δυο τουλάχιστον σημεία.
5) η g(x) εχει μια τουλάχιστον αρνητική ρίζα.
dennysmathprof


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΡΊΖΕΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Ιαν 16, 2012 1:12 am

i) Προφανώς ισχύει: \displaystyle{f(x)=1-10^{x+g(x)}<1}, αφού \displaystyle{10^{x+g(x)}>0}.

ii) Έχουμε ότι:

\displaystyle{1-f(x)=10^{x+g(x)} \Leftrightarrow log[1-f(x)]=x+g(x) \Leftrightarrow g(x)=log[1-f(x)]-x}.

H συνάρτηση 1-f(x) είναι συνεχής στο \mathbb{R} ως διαφορά των συνεχών 1 (σταθερή) και f (υπόθεση),
άρα η log[1-f(x)] είναι συνεχής στο \mathbb{R} ως σύνθεση των συνεχών logx (λογαριθμική) και 1-f(x),
οπότε και η g είναι συνεχής στο \mathbb{R} ως διαφορά των συνεχών log[1-f(x)] και x (πολυωνυμική).

iii) Έχουμε ότι:

g(0) <0 \Leftrightarrow log(1-f(0))<0 \Leftrightarrow 1-f(0)<1 \Leftrightarrow f(0)>0
και
g(1) >-1 \Leftrightarrow log(1-f(1))-1>-1 \Leftrightarrow 1-f(1)>1 \Leftrightarrow f(1)<0.

Η f είναι συνεχής στα [-1,0],[0,1] (υπόθεση),
με f(-1)f(0)<0 και f(0)f(1)<0,
οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της f σε κάθε ένα από τα (-1,0),(0,1),
άρα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο \mathbb{R}.

iv) Έχουμε ότι:

\displaystyle{f(-1)<0 \Leftrightarrow 1-10^{-1+g(-1)}<0 \Leftrightarrow 1<10^{-1+g(-1)}<0 \Leftrightarrow log1<-1+g(-1) \Leftrightarrow g(-1)-1>0 (I)}.

Θέτουμε: h(x)=g(x)+x,x \in \mathbb{R}.
Τότε:
*h(-1)=g(-1)-1>0 (από υπόθεση),
*h(0)=g(0)<0 (από υπόθεση),
*h(1)=g(1)+1>0 (από (I)),

Η h είναι συνεχής στα [-1,0],[0,1] ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων g (συνεχής στο \mathbb{R} από το ii ερώτημα) και x (πολυωνυμική),
με h(-1)h(0)<0 και h(0)h(1)<0,
οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της h σε κάθε ένα από τα (-1,0),(0,1),
άρα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο \mathbb{R}.

v) Η g είναι συνεχής στo [-1,0] (ως συνεχής στο \mathbb{R} από το ii ερώτημα)
με g(-1)g(0)<0 (από την (I) ισχύει g(-1)>0),
οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g στο (-1,0),
άρα έχει μια τουλάχιστον αρνητική ρίζα.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες