Συναρτήσεις 12

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 12

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τετ Ιαν 11, 2012 11:14 pm

Έστω M τυχαίο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=e^{x},x\in [1,2] και A,B οι προβολές του στους ημιάξονες Ox,Oy, αντίστοιχα.

Αν E_{1} είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου OAMB και E_{2} το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά OM,

να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο M της γραφικής παράστασης της f τέτοιο, ώστε E^{2}_{1}=E_{2}..


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 12

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Ιαν 12, 2012 2:13 pm

Έστω M(x,e^x),x \in [1,2],

οπότε A(x,0),B(0,e^x).

Συνεπώς:

(OAMB)=(OA)(OB)=xe^x και E_2=OM^2=x^2+e^{3x}.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x)=(xe^x)^2-x^2-e^{2x} έχει ρίζα στο (1,2).

H συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων,
f(1)=-1<0,f(2)=3e^4-4>0, άρα f(1)f(2)<0

και από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ρίζα της f(x)=0 στο (1,2).


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης