Όριο και συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Όριο και συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Κυρ Ιαν 08, 2012 11:08 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} για την οποία ισχύει {{f}^{2}}(x)\le 2xf(x) για κάθε x\in \mathbb{R}. Να δείξετε ότι:
α) η f είναι συνεχής στο {{x}_{0}}=0
β) \underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}=0.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Όριο και συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Ιαν 08, 2012 11:22 pm

ghan έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} για την οποία ισχύει {{f}^{2}}(x)\le 2xf(x) για κάθε x\in \mathbb{R}. Να δείξετε ότι:
α) η f είναι συνεχής στο {{x}_{0}}=0
β) \underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}=0.
α) \displaystyle{ 
f^2 \left( x \right) \leqslant 2xf\left( x \right) \Leftrightarrow f^2 \left( x \right) - 2xf\left( x \right) + x^2  \leqslant x^2  \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - x} \right)^2  \leqslant x^2  \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right) - x} \right| \leqslant \left| x \right| \Leftrightarrow  - \left| x \right| \leqslant f\left( x \right) - x \leqslant \left| x \right| \Leftrightarrow  
} \displaystyle{ 
\boxed{x - \left| x \right| \leqslant f\left( x \right) \leqslant x + \left| x \right|}:\left( 1 \right) 
}

\displaystyle{ 
\left( 1 \right)\xrightarrow{{x = 0}}0 \leqslant f\left( 0 \right) \leqslant 0 \Rightarrow \boxed{f\left( 0 \right) = 0} 
} και \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - \left| x \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + \left| x \right|} \right) = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma } \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)} \Rightarrow f 
} συνεχής στο \displaystyle{ 
x_0  = 0 
}


β) \displaystyle{ 
\left( 1 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{:x^2 ,x < 0} \frac{{2x}} 
{{x^2 }} \leqslant \frac{{f\left( x \right)}} 
{{x^2 }} \leqslant 0 \Rightarrow 2\frac{1} 
{x} \leqslant \frac{{f\left( x \right)}} 
{{x^2 }} \leqslant 0\mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1} 
{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 0 = 0\,\,(\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma )} \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}} 
{{x^2 }} = 0} 
}

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Όριο και συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιαν 08, 2012 11:44 pm

...μιά απαντηση....

α) Είναι {{f}^{2}}(x)-2xf(x)\le 0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)-2xf(x)+{{x}^{2}}\le {{x}^{2}}\Leftrightarrow {{(f(x)-x)}^{2}}\le {{x}^{2}}άρα

\left| f(x)-x \right|\le \left| x \right|\Leftrightarrow -\left| x \right|\le f(x)-x\le \left| x \right|\Leftrightarrow x-\left| x \right|\le f(x)\le x+\left| x \right| που για x=0 προκύπτει 0\le f(0)\le 0άρα f(0)=0

και από κριτήριο παρεμβολής \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(0)=0 άρα η f είναι συνεχής στο {{x}_{0}}=0

β) Από x-\left| x \right|\le f(x)\le x+\left| x \right| για x<0 ισχύει ότι 2x\le f(x)\le 0 και ισοδύναμα \frac{1}{x}\le \frac{f(x)}{{{x}^{2}}}\le 0

και από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης