υπάρχει ξ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

υπάρχει ξ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Κυρ Ιαν 08, 2012 6:12 pm

Δίνεται η 1-1 συνάρτηση με f(x)=ax^3+2x^2+bx-4 με a>1
α)να δείξετε οτι :ab>1
b)η f(x)=0 εχει 1 μόνο ρίζα στο (0,1)
c) νδο υπάρχειxo>1 : (xo-ab)(f(xo))+lnxo=0
dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: υπάρχει ξ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Δευ Ιαν 09, 2012 12:32 am

a)Ηf είναι συνεχής ως πολ/κή και 1-1 άρα f γνήσια μονότονη
Και
f ' (x)=3ax^2-4x+b, \Delta =16-12ab
πρέπει
\Delta \leq 0\Leftrightarrow ab\geq \frac{4}{3}>1
(οπότε f γνησίως αύξουσα)
b) f συνεχής στο [0,1]
και f(0)=-4<0
f(1)=a+b-2>a+\frac{1}{a}-2\geq0 άρα υπάρχει \xi\epsilon (0,1):f(\xi)=0

c) g(x)=(x-ab)f(x)+lnx
εύκολα g συνεχής για x\geq 1
g(1)=(1-ab)f(1)<0

για x>ab>1 είναι f(x)>f(ab)>f(1)>0 οπότε για x>ab είναι
g(x)>(x-ab)f(1)+lnx=x[(1-\frac{ab}{x})f(1)+\frac{lnx}{x}],\lim_{x\to +\infty }(x[(1-\frac{ab}{x})f(1)+\frac{lnx}{x}])=+\infty >0
επομένως προκύπτει το ζητούμενο
τελευταία επεξεργασία από GMANS σε Δευ Ιαν 09, 2012 12:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γ. Μανεάδης
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: υπάρχει ξ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Δευ Ιαν 09, 2012 8:37 am

dennys έγραψε:Δίνεται η 1-1 συνάρτηση με f(x)=ax^3+2x^2+bx-4 με a>1
α)να δείξετε οτι :ab>1
b)η f(x)=0 εχει 1 μόνο ρίζα στο (0,1)
c) νδο υπάρχειxo>1 : (xo-ab)(f(xo))+lnxo=0
dennys
θα ήθελα στο 3) να πω απλά οτι με ΘΒ για την g(x)=(1-ab)f(x)-lnx στο [1,ab], ab>1 εχουμε:
g(1)=(1-ab)f(1)>0
g(ab)=-ln(ab)<0 αφού ab>1,ln(ab)>0,-ln(ab)<0 αρα κλπ

GMANS να είσαι καλά
dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης