Σελίδα 1 από 1

Όχι διάστημα,αλλά ένωση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 07, 2012 6:31 pm
από Φωτεινή
Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα σύνολο D\subseteq \mathbb R.
Η f παίρνει μόνο ακέραιες τιμές και μάλιστα περισσότερες από μία.
Αποδείξτε ότι το σύνολο D δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων.

Re: Όχι διάστημα,αλλά ένωση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 07, 2012 6:36 pm
από Γιώργος Απόκης
Καλησπέρα Φωτεινή. Από την υπόθεση υπάρχουν m,n ακέραιοι με m<n ώστε για x_1,x_2\in D να ισχύει f(x_1)=m,f(x_2)=n.

Αν το D ήταν διάστημα, αφού η f είναι συνεχής, από το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών η f θα έπαιρνε όλες τις πραγματικές τιμές μεταξύ των m,n άρα

και μη ακέραιες (άτοπο).

Re: Όχι διάστημα,αλλά ένωση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 07, 2012 6:50 pm
από Φωτεινή
ναι Γιώργο

αν υποθέσουμε ότι το D είναι διάστημα τότε η f πρέπει να είναι σταθερή
αλλά σταθερή και να παίρνει περισσότερες από μία ακέραιες τιμές δε γίνεται
έτσι το D είναι ένωση διαστημάτων και η f σταθερή σε καθένα από αυτά.

Re: Όχι διάστημα,αλλά ένωση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 07, 2012 7:27 pm
από Mihalis_Lambrou
Φωτεινή έγραψε:Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα σύνολο D\subseteq \mathbb R.
Η f παίρνει μόνο ακέραιες τιμές και μάλιστα περισσότερες από μία.
Αποδείξτε ότι το σύνολο D δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων.
Ας προσθέσω το εξής σχόλιο: Στο Σχολικό βιβλίο (αν θυμάμαι καλά) ο ορισμός της συνέχειας σε ένα σημείο απαιτεί η συνάρτηση να ορίζεται σε τουλάχιστον ένα διάστημα γύρω από το σημείο. Στο Πανεπιστήμιο χαλαρώνουμε αυτή την υπόθεση. Δεν την απαιτούμε! Όπως άλλωστε και στον ορισμό του ορίου χαλαρώνουμε την υπόθεση και μιλάμε για "σημεία συσσώρευσης".

Με αυτά κατά νου, το παραπάνω αποδεικτέο παύει να ισχύει στο Πανεπιστήμιο! Απίστευτο αλλά ... τρεχαγύρευε. Για παράδειγμα η f(x) = 1 \, x \in [0, \, 1] \cap \mathbb Q και f(x) = 2 \, x \in [2, \, 3] \cap \mathbb Q ικανοποιεί τις υποθέσεις, αλλά όχι το συμπέρασμα.

Με άλλα λόγια έχουμε μία από τις περιπτώσεις (υπάρχουν και άλλες, π.χ. οι κυβικές ρίζες αρνητικών αριθμών) που ο νομοθέτης επέλεξε (ΚΑΛΩΣ) έναν ορισμό για το Σχολείο, με κριτήριο την λειτουργικότητα και την ευκολία. Άφησε τα γενικότερα, για μετά.

Φιλικά,

Μιχάλης