Όχι διάστημα,αλλά ένωση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Όχι διάστημα,αλλά ένωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Ιαν 07, 2012 6:31 pm

Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα σύνολο D\subseteq \mathbb R.
Η f παίρνει μόνο ακέραιες τιμές και μάλιστα περισσότερες από μία.
Αποδείξτε ότι το σύνολο D δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Όχι διάστημα,αλλά ένωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιαν 07, 2012 6:36 pm

Καλησπέρα Φωτεινή. Από την υπόθεση υπάρχουν m,n ακέραιοι με m<n ώστε για x_1,x_2\in D να ισχύει f(x_1)=m,f(x_2)=n.

Αν το D ήταν διάστημα, αφού η f είναι συνεχής, από το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών η f θα έπαιρνε όλες τις πραγματικές τιμές μεταξύ των m,n άρα

και μη ακέραιες (άτοπο).


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Όχι διάστημα,αλλά ένωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Ιαν 07, 2012 6:50 pm

ναι Γιώργο

αν υποθέσουμε ότι το D είναι διάστημα τότε η f πρέπει να είναι σταθερή
αλλά σταθερή και να παίρνει περισσότερες από μία ακέραιες τιμές δε γίνεται
έτσι το D είναι ένωση διαστημάτων και η f σταθερή σε καθένα από αυτά.


Φωτεινή Καλδή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όχι διάστημα,αλλά ένωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 07, 2012 7:27 pm

Φωτεινή έγραψε:Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα σύνολο D\subseteq \mathbb R.
Η f παίρνει μόνο ακέραιες τιμές και μάλιστα περισσότερες από μία.
Αποδείξτε ότι το σύνολο D δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων.
Ας προσθέσω το εξής σχόλιο: Στο Σχολικό βιβλίο (αν θυμάμαι καλά) ο ορισμός της συνέχειας σε ένα σημείο απαιτεί η συνάρτηση να ορίζεται σε τουλάχιστον ένα διάστημα γύρω από το σημείο. Στο Πανεπιστήμιο χαλαρώνουμε αυτή την υπόθεση. Δεν την απαιτούμε! Όπως άλλωστε και στον ορισμό του ορίου χαλαρώνουμε την υπόθεση και μιλάμε για "σημεία συσσώρευσης".

Με αυτά κατά νου, το παραπάνω αποδεικτέο παύει να ισχύει στο Πανεπιστήμιο! Απίστευτο αλλά ... τρεχαγύρευε. Για παράδειγμα η f(x) = 1 \, x \in [0, \, 1] \cap \mathbb Q και f(x) = 2 \, x \in [2, \, 3] \cap \mathbb Q ικανοποιεί τις υποθέσεις, αλλά όχι το συμπέρασμα.

Με άλλα λόγια έχουμε μία από τις περιπτώσεις (υπάρχουν και άλλες, π.χ. οι κυβικές ρίζες αρνητικών αριθμών) που ο νομοθέτης επέλεξε (ΚΑΛΩΣ) έναν ορισμό για το Σχολείο, με κριτήριο την λειτουργικότητα και την ευκολία. Άφησε τα γενικότερα, για μετά.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης