μονοτονία -θ.ΒΟLZANO

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

μονοτονία -θ.ΒΟLZANO

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Σάβ Ιαν 07, 2012 10:57 am

ΑΣΚΗΣΗ
Δίνονται συναρτήσεις f,g: (0, +\infty)  \rightarrow \mathbb{R} με την ιδιότητα g(x)-g(\frac{1}{x})=f(x), \  x>0
και η g είναι γν. αύξουσα.
1) ποιά η μονοτονία της f
2) αν \ln(x)\le {f(x)}\le(x-1) νδο
i) η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο 1
ii) Αν η g(x) συνεχής και c >1, ρίζα της g(x) νδο η εξίσωση : k^2\,f(x)+ m^2\,g(x)=0  , k,m \in \mathbb{R}, \ k,m\neq0
έχει μοναδική ρίζα στο (1,c)


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: μονοτονία -θ.ΒΟLZANO

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιαν 08, 2012 2:28 pm

Αφού η g είναι γνησίως αύξουσα τότε για x_1<x_2\Rightarrow g(x_1)<g(x_2) (1)

'Ομως {1\over x_1}>{1\over x_2}  x_1,x_2>0\Rightarrow g({1\over x_1})>g({1\over x_2})\Rightarrow -g({1\over x_1})<-g({1\over x_2}) (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(2) έχουμε f(x_1)<f(x_2).Άρα η fείναι γνησίως αύξουσα
Η δοσμένη σχέση για x=1 δίνει f(1)=0
Αφού τώρα \lim_{x\rightarrow 1}lnx=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)=0 τότε από ισόσυγκλίνουσες συναρτήσεις \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0=f(1).Άρα είναι συνεχής στο 1.

iii).Αφού η g είναι συνεχής τότε και η g({1\over x}) είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.Λόγω της δοσμένης σχέσης και η f είναι συνεχής .Άρα και η k^2f(x)+m^2g(x)=h(x) είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.Επίσης h(1)h(c)=k^2m^2f(c)g(1)<0 αφού lnc\leq f(c)\leq c-1 και 1<c\Rightarrow g(1)<g(c)=0.Επίσης η h είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα συναρτήσεων που είναι γνησίως αύξουσες.
Άρα από ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO και μονοτονία η h(x)=0 έχει μοναδική λύση στο \left(1,c \right)


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης