Θ.bolzano

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Θ.bolzano

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Σάβ Ιαν 07, 2012 10:22 am

καλημέρα σε όλους
Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [1,5]
και f(1)=a-2 και f(5)=b-2 οπου a,b οι ρίζες του τριωνύμου
2x^2-2007x+2001=0 να δειχθεί οτι υπάρχει 1 τουλάχιστον c \in (1,5)
τέτοιο ώστε f(c)+1=c^2


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θ.bolzano

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιαν 08, 2012 5:04 pm

Οι ρίζες της εξίσωσης 2x^2-2007x+2001=0 είναι οι \frac {2007}{4}\pm\frac{1}{4}\,\sqrt {4012041} . Επίσης \left\{ \begin{array}{c} 
a\,b=\frac{2001}{2}\vspace{0.1cm}\\ 
a+b=\frac{2007}{2} 
 \end{array} \right\}\quad(1) .
Η συνάρτηση g(x)=f(x)-x^2+1 είναι συνεχής στο [{1,5}] σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, ενώ
g(1)\,g(5)=f(1)\,({f(5)-24})=f(1)\,f(5)-24\,f(1)=({a-2})\,({b-2})-24\,({a-2})=
a\,b-2\,({a+b})+4-24a+48\stackrel{(1)}{=}\frac{2001}{2}-2\,\frac{2007}{2}-24a+52=-24a-\frac{1909}{2}\quad(2)

Είτε a=\frac {2007}{4}-\frac{1}{4}\,\sqrt {4012041}, είτε a=\frac {2007}{4}+\frac{1}{4}\,\sqrt {4012041}, από την (2) προκύπτει ότι g(1)\,g(5)<0. Επομένως, από το θεώρημα Bolzano, προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα c \in (1,5) τέτοιο ώστε g(c)=0\quad\Rightarrow\quad{f(c)+1=c^2}\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Θ.bolzano

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Κυρ Ιαν 08, 2012 5:46 pm

κ. Κωστάκο εύχαριστώ που ασχοληθήκατε.
Μια αλλη σκέψη για τα πρόσημα θα μπορούσε να είναι και η εξής:ΘΕΤΩh(x)=f(x)+1-{x^2}
και τότε h(1)=f(1)+1-1=f(1)=a-2 και h(5)=f(5)+1-26=b-2+1-25=b-26
δηλ h(1)=a-2<0  ,h(5)=b-26>0 ,επειδή το τριώνυμο g(x)=2x^2-2007x+2001 εχει
στο x=2  ,  x=26 τιμές αρνητικές και επειδη σαν συνάρτηση είναι κυρτή θα
είναι a<2 και b>26 .
Ευχαριστώ πολύ dennys
εκανα τις διορθώσεις .ευχαριστώ τον κ. Κωστάκο


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θ.bolzano

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιαν 13, 2012 4:26 am

dennys έγραψε:κ. Κωστάκο εύχαριστώ που ασχοληθήκατε.
Μια αλλη σκέψη για τα πρόσημα θα μπορούσε να είναι και η εξής:ΘΕΤΩh(x)=f(x)+1-{x^2}
και τότε h(1)=f(1)+1-1=f(1)=a-2 και h(5)=f(5)+1-26=b-2+1-25=b-26
δηλ h(1)=a-2<0  ,h(5)=b-26>0 ,επειδή το τριώνυμο g(x)=2x^2-2007x+2001 εχει
στο x=2  ,  x=26 τιμές αρνητικές και επειδη σαν συνάρτηση είναι κυρτή θα
είναι a<2 και b>26 .
Ευχαριστώ πολύ dennys
εκανα τις διορθώσεις .ευχαριστώ τον κ. Κωστάκο
dennys

στην λύση που δίνεις χρησιμοποιείς σαν δεδομένο ότι a<b κάτι που δεν δίνεται στις υποθέσεις της εκφώνησης.

φιλικά


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης