Σελίδα 1 από 1

Όριο 2

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2012 11:42 pm
από ghan
Να βρεθεί, για τις διάφορες πραγματικές τιμές του \lambda, το όριο:
\displaystyle{L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ {{x}^{\frac{\lambda }{3}}}\left[ {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}-{{x}^{\frac{2}{3}}} \right] \right\}}

Re: Όριο 2

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 03, 2012 1:21 pm
από nsmavrogiannis
Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τον "συζυγή". Ο "συζυγής" του \root{3}\of{A}-\root{3}\of{B} είναι ο \root{3}\of{A}^{2}+\root{3}\of{A}\root{3}\of{B}+\root{3}\of{B}^{2}. 'Εχουμε
x^{\frac{\lambda }{3}}\left[ \root{3}\of{x^{2}+1}-\root{3}\of{x^{2}}\right] =
x^{\frac{\lambda }{3}}\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\root{3}\of{x^{2}+1}^{2}+\root{3}\of{x^{2}+1}\cdot \root{3}\of{x^{2}}+\root{3}\of{x^{2}}^{2}}=
x^{\frac{\lambda }{3}}\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\root{3}\of{x^{2}+1}^{2}+\root{3}\of{x^{2}+1}\cdot \root{3}\of{x^{2}}+\root{3}\of{x^{2}}^{2}}=
\frac{x^{\frac{\lambda }{3}}}{x^{\frac{4}{3}}}\frac{1}{\root{3}\of{1+\frac{1}{x^{2}}}^{2}+\root{3}\of{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}
οπότε \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left\{ x^{\frac{\lambda }{3}}\left[ \left( x^{2}+1\right) ^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\right] \right\} =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left\{ x^{\frac{\lambda -4}{3}}\frac{1}{\root{3}\of{1+\frac{1}{x^{2}}}^{2}+\root{3}\of{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}\right\}
Αν οι πράξεις μου είναι σωστές το όριο είναι +\infty ,1,0 ανάλογα με το αν \lambda >4,\lambda =4,\lambda <4.
Μαυρογιάννης