Κλίση σε ... αναμονή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κλίση σε ... αναμονή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 13, 2011 9:58 pm

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=x^3-x+3 και g(x)=2x^3-4x+2 έχουν 3 κοινά σημεία .

Είναι δύσκολο να βρεθούν , αλλά δείξτε ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία , η οποία μάλιστα έχει κλίση 2 .


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Κλίση σε ... αναμονή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Κυρ Νοέμ 13, 2011 10:33 pm

Οι τετμημένες των σημείων τομής των C_f , C_g θα βρεθούν από τη λύση της εξίσωσης:

f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^3-x+3 = 2x^3-4x+2 \Leftrightarrow x^3-3x-1 = 0.

Για την συνάρτηση h(x)=x^3-3x-1 είναι h(-2)=-3<0 , h(-1)=1>0 , h(0)=-1<0 , h(2)=1>0

Από το θεώρημα Bolzano η εξίσωση h(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα (-2 , -1) , (-1 , 0) , (0,2).
Επειδή η εξίσωση είναι πολυωνυμική 3ου βαθμού, θα έχει ακριβώς τρεις ρίζες.

Έστω a<b<c οι τρεις ρίζες. Τότε a^3-3a-1 = 0  \Leftrightarrow a^3 = 3a+1 και f(a)=a^3-a+3 = 3a+1-a+3 = 2a+4.

Άρα τα τρία σημεία τομής των C_f , C_g είναι A(a,2a+4) , B(b,2b+4) , C(c,2c+4).

Είναι \lambda_{AB} = \dfrac{2b+4-2a-4}{b-a} = \dfrac{2(b-a)}{b-a} = 2. Όμοια \lambda_{AC} = 2.

Άρα τα σημεία A, B , C είναι συνευθειακά και η ευθεία στην οποία ανήκουν έχει κλίση 2.


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Κλίση σε ... αναμονή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Δευ Νοέμ 14, 2011 12:28 pm

Βρίσκω την ευκαιρία για μία λύση της εξίσωσης που εμφανίζεται στο θέμα, χωρίς να είναι απαραίτητη.
\displaystyle{x^{3}-3x-1=0\Leftrightarrow -\frac{1}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{x^{3}}{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{2}=3\frac{x}{2}-4\left(\frac{x}{x} \right)^{3}}
Θέτουμε: \displaystyle{y=\frac{x}{2}}, οπότε η εξίσωση γίνεται:
\displaystyle{3y-4y^{3}=-\frac{1}{2}}
Θέτουμε: \displaystyle{y=\eta \mu \alpha } και έχουμε:
\displaystyle{3\eta \mu \alpha-4\left(\eta \mu \alpha \right)^{3}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \eta \mu (3\alpha )=\eta \mu (-30) }
Οι λύσεις που προκύπτουν είναι:
\displaystyle{x=-2\eta \mu 10,x=2\eta \mu 70,x=-2\eta \mu 50}

Φιλικά Χρήστος

Tα 2 συμπληρώθηκαν μετά απο παρατήρηση του karkar
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Δευ Νοέμ 14, 2011 9:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Κλίση σε ... αναμονή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Δευ Νοέμ 14, 2011 7:00 pm

Ένας άλλος τρόπος για τη λύση της εξίσωσης: x^3-3x-1 = 0.

Θέτουμε \displaystyle x = \frac{\sqrt{3}}{2}y -  \frac{1}{2}. Μετά τις πράξεις η εξίσωση μετασχηματίζεται στην

3\sqrt{3}y^3-9y^2-9\sqrt{3}y+3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}(3y-y^3) = 1-3y^2.

Με έλεγχο διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} δεν είναι ρίζες της εξίσωσης, οπότε: \dfrac{3y-y^3}{1-3y^2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}

Θέτουμε: y = \tan a και έχουμε:

\dfrac{3 \tan a- \tan^3 a}{1-3\tan^2 a} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}  \Leftrightarrow \tan 3a = \tan 30^{\circ} \Leftrightarrow 3a = k\cdot 180^{\circ}+30^{\circ}  \Leftrightarrow a = k\cdot 60^{\circ}+10^{\circ}.

Για k =0 , 1 , 2 παίρνουμε:

x= \frac{\sqrt{3}}{2}\tan 10^{\circ} -  \frac{1}{2} = \cos 30^{\circ}\cdot\dfrac{\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}} - \sin 30^{\circ} = -\dfrac{\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}} = -\dfrac{2\sin 10^{\circ}\cos 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}} = -2\sin 10^{\circ}.

Όμοια x =  \frac{\sqrt{3}}{2}\tan 70^{\circ} -  \frac{1}{2} = 2\sin 70^{\circ} και x =  \frac{\sqrt{3}}{2}(-\tan 50^{\circ}) -  \frac{1}{2} = -2\sin 50^{\circ} .

Με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση διαπιστώνουμε ότι οι παραπάνω είναι λύσεις της εξίσωσης και είναι οι μόνες, αφού η εξίσωση είναι πολυωνυμική 3ου βαθμού.


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Κλίση σε ... αναμονή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 15, 2011 3:19 pm

Mετά τις άριστες παραπάνω λύσεις, απλώς δίνω τις γραφικές παραστάσεις
Συνημμένα
x3.png
x3.png (18 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Κλίση σε ... αναμονή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Ιούλ 30, 2012 4:13 pm

Εντυπωσιακό κι ασυνήθιστο ερώτημα.
Εύγε :clap2:


Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Κλίση σε ... αναμονή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Δευ Ιούλ 30, 2012 8:27 pm

Αν {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} είναι οι τετμημένες των κοινών τους σημείων, A,B,C τότε x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}-1=0\Rightarrow x_{1}^{3}-{{x}_{1}}+3=2{{x}_{1}}+4\Rightarrow f({{x}_{1}})=2{{x}_{1}}+4. Ομοίως f({{x}_{2}})=2{{x}_{2}}+4 και f({{x}_{3}})=2{{x}_{3}}+4, οπότε τα κοινά σημεία βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=2x+4


nikan-dos
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες