Μονοτονία συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Μονοτονία συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Σεπ 27, 2011 12:48 pm

Οι συναρτήσεις f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι γνησίως μονότονες και f \circ f=g , g\circ g=f.

Να αποδειχθεί ότι f=g


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Σεπ 27, 2011 2:50 pm

\begin{array}{*{20}c} 
   {g \circ g = f \Rightarrow f \uparrow \left( {\gamma \nu .} \right) \Rightarrow g \uparrow \left( {\gamma \nu .} \right) \Rightarrow f\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{1 - 1} f\left( {g\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in \mathbb{R},}  \\ 
   {g\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( x \right) \Rightarrow g\left( {f\left( {f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right)} \right)} \right) = f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right) = x \Rightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in \mathbb{R}.}  \\ 
 
 \end{array}

\begin{array}{*{20}c} 
   {\left( {\exists x_0  \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( {x_0 } \right) > g\left( {x_0 } \right)} \right) \Rightarrow \left( {\exists x_0  \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( {f\left( {x_0 } \right)} \right) > f\left( {g\left( {x_0 } \right)} \right)} \right) \Rightarrow \left( {\exists x_0  \in \mathbb{R}} \right)\left( {g\left( {x_0 } \right) > x_0 } \right)}  \\ 
   {\kappa \alpha \iota \;g\left( {f\left( {x_0 } \right)} \right) > g\left( {g\left( {x_0 } \right)} \right) \Rightarrow x_0  > f\left( {x_0 } \right) > g\left( {x_0 } \right) > x_0 ,\;\dot \alpha \tau o\pi o.}  \\ 
 
 \end{array}
Όμοια πάμε σε άτοπο, όταν
\left( {\exists x_0  \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( {x_0 } \right) < g\left( {x_0 } \right)} \right).


S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Σεπ 28, 2011 11:45 am

Υπέροχη άσκηση :clap2:


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Σεπ 29, 2011 12:04 pm

Φίλη pito όταν ο Σπύρος Καπελλίδης προτείνει θέματα, τουλάχιστον έχουν επίπεδο και στόχο.

S.E.Louridas
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Πέμ Σεπ 29, 2011 12:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Πέμ Σεπ 29, 2011 12:15 pm

Συμφωνώ κύριε Λουρίδα( η φίλη pito) .


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Απρ 14, 2012 5:42 pm

Νομίζω πως μπορούμε να βρούμε και την συνάρτηση \displaystyle{f} .


Άβαταρ μέλους
Bill K
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 12, 2012 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bill K » Σάβ Απρ 14, 2012 6:56 pm

Σωστά, αφού έχουμε αποδείξει ότι f(f(x))=f(x)

Έστω ότι υπάρχει x_0\in \mathbb R τέτοιο ώστε f(x_0)\neq x_0

Αν f(x_0)<x_0 \Rightarrow f(f(x_0))<f(x_0) \Rightarrow f(x_0)<f(x_0) άτοπο.

Όμοια αν f(x_0)>x_0 καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα f(x)=x, x\in \mathbb R

Προκύπτει άμεσα και από την f(f(x))=f(x) αφού είναι 1-1 ως γνησίως μονότονη ότι f(x)=x
Θα χρειαζόταν το παραπάνω αν είχαμε ότι f(f(x))=x και f γνησίως αύξουσα όπως μου επισήμανε ευγενικά ο κύριος Στεργίου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης