ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

nassou13 · #1

Δίνεται η συνεχής στο x_0=0

συνάρτηση

για την οποία ισχύουν οι σχέσεις
f(x+y)=f(x) f(y)

για κάθε $x,y \in \mathbb R$ και $f(x)\neq 0,\forall x\in \mathbb R$
Α. Να δειχθεί ότι f(0)=1

B.Aν

συνεχής στο $\mathbb R$ , Tότε f(x)>0

Γ.Να δείξετε ότι f(-x)~ f(x)=1

Δ. Αν η εξίσωση f(x)=1

, έχει μοναδική ρίζα το

, τότε η

αντιστρέφεται και ισχύει $f^{-1}(xy)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y)$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

i. έχουμε $\displaystyle{f(x + \psi ) = f(x) \cdot f(\psi )}$ οπότε για $\displaystyle{x = \psi = 0}$ έχουμε $\displaystyle{ f(0) = f^2 (0) \Leftrightarrow f(0)(f(0) - 1) = 0 \Leftrightarrow f(0) = 1 }$ διότι $\displaystyle{f(0) \ne 0}$ αφού $\displaystyle{f(x) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

ιι.Εστω οτι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο, τότε υπάρχουν $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ με $\displaystyle{\alpha < \beta }$
τέτοια ώστε $\displaystyle{f(a) \cdot f(\beta ) < 0}$ . Επειδή η f είναι συνεχής απο θεώρημα Bolzano έχω οτι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 0}$ ΑΤΟΠΟ,διότι $\displaystyle{f(x) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
επόμενως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Ομως f(0)=1>0,οπότε f(x)>0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

iii. Για $\displaystyle{\psi = - x}$ έχουμε $\displaystyle{f(0) = f(x) \cdot f( - x) \Rightarrow f(x) \cdot f( - x) = 1}$

iv. Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in R}$ με $\displaystyle{ f(x_1 ) = f(x_2 ) \Rightarrow f(x_1 ) \cdot \frac{1}{{f(x_2 )}} = 1 \Rightarrow f(x_1 ) \cdot f( - x_2 ) = 1 \Rightarrow f(x_1 - x_2 ) = f(0) \Rightarrow x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 }$ οπότε η f είναι 1-1,επομένως αντιτρέφεται.

Ειναι $\displaystyle{f(x) = \psi _1 \Leftrightarrow x = f^{ - 1} (\psi _1 )}$ και $\displaystyle{ f(\psi ) = \psi _2 \Leftrightarrow \psi = f^{ - 1} (\psi _2 ) }$

Απο την δοθείσα σχέση έχουμε $\displaystyle{x + \psi = f^{ - 1} (f(x) \cdot f(\psi ))}$
Οπότε $\displaystyle{f^{ - 1} (\psi _1 ) + f^{ - 1} (\psi _2 ) = f^{ - 1} (f(x) \cdot f(\psi )) = f^{ - 1} (\psi _1 \cdot \psi _2 )}$
ή $\displaystyle{f^{ - 1} (x) + f^{ - 1} (\psi ) = f^{ - 1} (x \cdot \psi )}$

nassou13 · #3

Σε ευχαριστώ πολύ!

ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση