Μελέτη ορίου I

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm

Μελέτη ορίου I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Πέμ Μάιος 23, 2024 8:23 pm

Δίνεται συνάρτηση h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to4 }\frac{4h(x)-1}{h(x)^2+3}=1

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to4}h(x)
τελευταία επεξεργασία από Ιάσων Κωνσταντόπουλος σε Σάβ Ιουν 22, 2024 7:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Λέξεις Κλειδιά:
Gr.K-D
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τετ Μάιος 22, 2024 1:08 pm

Re: Μελέτη ορίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Gr.K-D » Πέμ Μάιος 23, 2024 9:34 pm

\lim_{x\rightarrow 4}\frac{4h(x)-1}{(h(x)^{2}+3)}=1
αν g(x)=(4h(x)-1)/(h^2(x)+3) τότε λύνοντας ως προς 4h(χ) προκύπτει
4h(x)=g(x)(h^2(x)+3)+1.αν ''λιμάρουμε'' προκύπτει4\lim_{x\rightarrow4 }h(x)=\lim_{x\rightarrow 4}g(x)(h^{2}(x)+3)+1
άρα αφού \lim_{x\rightarrow 4}g(x)=1
τότε \lim_{x\rightarrow 4}h^{2}(x)-\lim_{x\rightarrow 4}h(x)+4=0
άρα μοναδική λύση είναι η \lim_{x\rightarrow 4}h(x)=2


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1777
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη ορίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Μάιος 23, 2024 11:10 pm

\displaystyle \begin{array}{l} 
t(x) = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} \Rightarrow t(x) \in \left[ { - \frac{4}{3},1} \right]\\ 
 
g(x) = \frac{{4h(x) - 1}}{{{h^2}(x) + 3}} \Leftrightarrow g(x){h^2}(x) - 4h(x) + 3g(x) + 1 = 0\\ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 1 \Rightarrow g(x) \ne 0\\ 
 
g(x) \in \left[ { - \frac{4}{3},1} \right] \Rightarrow 3{g^2}(x) + g(x) - 4 \le 0 \Rightarrow \Delta  =  - 4[3{g^2}(x) + g(x) - 4] \ge 0\\ 
 
h(x) = \frac{{4 \pm \sqrt { - 4[3{g^2}(x) + g(x) - 4]} }}{{2g(x)}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{4 \pm \sqrt { - 4[3{u^2} + u - 4]} }}{{2u}} = 2 
\end{array}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4468
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη ορίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Μάιος 23, 2024 11:24 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 8:23 pm
Δίνεται συνάρτηση h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to4 }\frac{4h(x)-1}{h(x)^2+3}=1

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to4}h(x)
Γεια σας. Νομίζω ότι κάτι χρειάζεται ακόμη στην υπόθεση. Λ.χ. συνέχεια της h. Προκύπτει από τα δεδομένα ότι το όριο της h υπάρχει; Αν π.χ.
\displaystyle  
h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2 + \sqrt 2 } & {x \in \mathbb{Q}}  \\ 
   {2 - \sqrt 2 } & {x \notin  \mathbb{Q}}  \\ 
\end{array}} \right.

τι συμβαίνει;

Edit 12.13
Ζητώ συγνώμη. Πρόκειτα για δική μου παρανόηση.
Διάβασα λάθος το κλάσμα ως \frac{4h\left( x\right) +1}{h^{2}\left( x\right) +3},
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Παρ Μάιος 24, 2024 12:16 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm

Re: Μελέτη ορίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Πέμ Μάιος 23, 2024 11:39 pm

Gr.K-D έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 9:34 pm
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{4h(x)-1}{(h(x)^{2}+3)}=1
αν g(x)=(4h(x)-1)/(h^2(x)+3) τότε λύνοντας ως προς 4h(χ) προκύπτει
4h(x)=g(x)(h^2(x)+3)+1.αν ''λιμάρουμε'' προκύπτει4\lim_{x\rightarrow4 }h(x)=\lim_{x\rightarrow 4}g(x)(h^{2}(x)+3)+1
άρα αφού \lim_{x\rightarrow 4}g(x)=1
τότε \lim_{x\rightarrow 4}h^{2}(x)-\lim_{x\rightarrow 4}h(x)+4=0
άρα μοναδική λύση είναι η \lim_{x\rightarrow 4}h(x)=2
Για να "λιμάρουμε" κατά μέλη δεδομένη ισότητα συναρτήσεων που ορίζονται
κοντά στο σημείο "λιμαρίσματος" και να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων συνακολούθως
πρέπει να γνωρίζουμε ότι το όριο ενός από τα δυο μέλη της ισότητας υπάρχει (το άλλο θα έπεται)!

Στην περίπτωσή μας, δεν το γνωρίζουμε για κανένα από τα δυο μέλη,
γιατί το όριο \lim\limits_{x \to 4} h(x) δεν είναι δεδομένο ότι υπάρχει
(γι' αυτό στην εκφώνηση χρησιμοποιείται η λέξη "μελετηθεί")

Βέβαια κατά τη λογιστική διαχείριση μιας άσκησης δεν βλάπτει κανείς να
δοκιμάζει να λάβει όρια κατά μέλη όπως κάνεις στη λύση σου.
Αλλά όταν κάνουμε κάτι τέτοιο είναι σαν να παίρνουμε δάνειο!
Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα μας για να κερδίσουμε πληροφορίες π.χ. μια πιθανή τιμή ορίου,
αλλά, δεσμευόμαστε ότι θα επιστρέψουμε μελλοντικά και θα διευθετήσουμε την
"υποχρέωση" απόδειξης της ύπαρξης ενός από τα όρια.

Κοντολογίς, αυτό που έχεις αποδείξει έιναι το εξής:
"αν το όριο της h(x) στο x_o=4 υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε είναι ίσο με 2"
Οπότε, έχεις υπολογίσει το όριο \lim\limits_{x \to 4} h(x) conditionally...
αν δηλαδή υπάρχει και είναι πραγματικός (τα \pm\infty παίζουν?)
Χρωστάς να αποδείξεις την ύπαρξη του \lim\limits_{x \to 4} h(x)
Και όταν αυτό γίνει θα έχει λυθεί η άσκηση!


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm

Re: Μελέτη ορίου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Πέμ Μάιος 23, 2024 11:44 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 11:24 pm
Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 8:23 pm
Δίνεται συνάρτηση h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to4 }\frac{4h(x)-1}{h(x)^2+3}=1

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to4}h(x)
Γεια σας. Νομίζω ότι κάτι χρειάζεται ακόμη στην υπόθεση. Λ.χ. συνέχεια της h. Προκύπτει από τα δεδομένα ότι το όριο της h υπάρχει; Αν π.χ.
\displaystyle  
h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2 + \sqrt 2 } & {x \in \mathbb{Q}}  \\ 
   {2 - \sqrt 2 } & {x \notin  \mathbb{Q}}  \\ 
\end{array}} \right.

τι συμβαίνει;
Καλησπέρα!
Ευχαριστώ για την ερώτηση. Είναι ΟΚ η άσκηση.
Για την h δεν γνωρίζουμε τίποτε άλλο εκτός από το δοσμένο όριο.
Είναι μέρος της άσκησης να αποδείξουμε ότι το όριο υπάρχει (και είναι πραγματικός αριθμός).
Η h μπορεί να είναι όσο παράξενη θέλει! Αλλά έχει όριο στο x_o=4


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15811
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μελέτη ορίου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 24, 2024 12:01 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 8:23 pm
Δίνεται συνάρτηση h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to4 }\frac{4h(x)-1}{h(x)^2+3}=1

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to4}h(x)
.
Απάντηση: \lim\limits_{x\to4}h(x) = 2

Πράγματι, γράφουμε g(x)= \frac{4h(x)-1}{h(x)^2+3} \, (*), οπότε εξ υποθέσεως \lim\limits_{x\to4 } g(x) = 1. Έπεται ότι σε κάποια περιοχή του x=4, η g δεν μηδενίζεται. Για x σε αυτήν την περιοχή βλέπουμε την (*) ως δευτεροβάθμια ως προς h(x), και συγκεκριμένα την g(x) h^2(x) -4h(x) +(3g(x)+1)=0.

Λύνοντας την δευτεροβάθμια θα βρούμε

\displaystyle{ h(x) = \dfrac {2\pm \sqrt {4-g(x)(3g(x)+1)}}{g(x)}} (εδώ χρησιμοποίησα ότι δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής). Παίρνοντας όριο x\to 4 έπεται

\displaystyle{ \lim\limits_{x\to4 }h(x) = \lim\limits_{x\to4 } \dfrac {2\pm \sqrt {4-g(x)(3g(x)+1)}}{g(x)} = \dfrac {2\pm \sqrt {4-1\cdot (3\cdot 1+1)}}{1} =2}, όπως θέλαμε.

Edit: Με πρόλαβαν όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο αλλά και γιατί μπαλώνει ένα κενό σε μία λύση παραπάνω.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4468
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη ορίου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Μάιος 24, 2024 12:17 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 11:44 pm
nsmavrogiannis έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 11:24 pm
Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2024 8:23 pm
Δίνεται συνάρτηση h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} για την οποία γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to4 }\frac{4h(x)-1}{h(x)^2+3}=1

Να μελετηθεί το όριο \lim\limits_{x\to4}h(x)
Γεια σας. Νομίζω ότι κάτι χρειάζεται ακόμη στην υπόθεση. Λ.χ. συνέχεια της h. Προκύπτει από τα δεδομένα ότι το όριο της h υπάρχει; Αν π.χ.
\displaystyle  
h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2 + \sqrt 2 } & {x \in \mathbb{Q}}  \\ 
   {2 - \sqrt 2 } & {x \notin  \mathbb{Q}}  \\ 
\end{array}} \right.

τι συμβαίνει;
Καλησπέρα!
Ευχαριστώ για την ερώτηση. Είναι ΟΚ η άσκηση.
Για την h δεν γνωρίζουμε τίποτε άλλο εκτός από το δοσμένο όριο.
Είναι μέρος της άσκησης να αποδείξουμε ότι το όριο υπάρχει (και είναι πραγματικός αριθμός).
Η h μπορεί να είναι όσο παράξενη θέλει! Αλλά έχει όριο στο x_o=4
Έχετε δίκιο. Δικό μου λάθος. Διάβασα αλλιώς την εκφώνηση.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης