Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Kostas2001
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 25, 2019 1:05 pm

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas2001 » Κυρ Αύγ 25, 2019 1:35 pm

Γεία σας!

Είμαι (φετινός) απόφοιτος της Γ΄Λυκείου και αποφάσισα να επεκτείνω τις γνώσεις μου στα μαθηματικά αφού αυτό αποτελεί τελικά και είδος ξεκούρασης για εμένα. Αυτή τη στιγμή λοιπόν, διαβάζω το Α' μέρος του σχολικού βιβλίου της Γ΄Λυκείου (το χοντρό) και έχω φτάσει μέχρι το αναφερόμενο κεφάλαιο. Τώρα έχω κολλήσει στην εφαρμογή 1 , σελ. 108-109 , που λέει τα εξής:

Να βρεθεί το σύνολο των εικονών των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει Arg(\frac{z-1}{z+1})=\pi /6


Οπότε ,γνωρίζοντας τους ορισμούς, παίρνω πρώτα τους περιορισμούς άρα z\neq 1,-1 και μετά θέτω z=x+yi όπου x,y πραγματικοί και μετασχηματίζω τον μιγαδικό \frac{z-1}{z+1} ώστε να είναι εμφανές το πραγματικό και φανταστικό του μέρος. Όμως μετά πώς συνεχίζουμε; Πώς θα καταλήξουμε σε ισοδύναμη σχέση με τα x,y ώστε να βρούμε τον Γ.Τ.;

Το βιβλίο, που την έχει λυμένη αυτή την άσκηση, το εξηγεί με κάπως περίεργο τρόπο που δεν μπορώ να καταλάβω. Ζητάω όποιος μπορεί να με βοηθήσει να 'ξεκολλήσω' χωρίς όμως να μου δώσει λύση.

Ευχαριστώ



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 25, 2019 1:57 pm

Γεια σου και καλωσόρισες!

Μπορείς να γράψεις τι ακριβώς δεν καταλαβαίνεις από τη λύση του βιβλίου;


Kostas2001
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 25, 2019 1:05 pm

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas2001 » Κυρ Αύγ 25, 2019 2:22 pm

Στην λύση του βιβλίου έχει ένα 'ισοδύναμο΄σύστημα που λέει ότι B/A=tan(\pi /6) \wedge B>0. Δεν μπορώ να καταλάβω απο πού προκύπτει αυτό ακριβώς. Δηλαδή δεν μπορεί B\leqslant 0 ή αντί για γωνία π/6 να είχαμε π/2; Υπάρχει μήπως κάποιος γενικός τύπος επίλυσης τέτοιου είδους εξίσωσης που εμπεριέχει κάποιους περιορισμούς;

Σας ευχαριστώ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 25, 2019 4:17 pm

\displaystyle Arg\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right) = \frac{\pi }{6} \Rightarrow A + Bi = \rho \left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\rho \sqrt 3 }}{2} + \frac{\rho }{2}i,\rho  > 0

Άρα, \displaystyle A = \frac{{\rho \sqrt 3 }}{2},B = \frac{\rho }{2} > 0 \Rightarrow \frac{B}{A} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

Στη συγκεκριμένη άσκηση, αν έδινε \displaystyle Arg\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right) = \frac{\pi }{2}, τότε θα ήταν A=0.


kritonios
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2018 11:23 pm

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kritonios » Δευ Δεκ 23, 2019 9:20 pm

Kostas2001 έγραψε:
Κυρ Αύγ 25, 2019 2:22 pm
Στην λύση του βιβλίου έχει ένα 'ισοδύναμο΄σύστημα που λέει ότι B/A=tan(\pi /6) \wedge B>0. Δεν μπορώ να καταλάβω απο πού προκύπτει αυτό ακριβώς. Δηλαδή δεν μπορεί B\leqslant 0 ή αντί για γωνία π/6 να είχαμε π/2; Υπάρχει μήπως κάποιος γενικός τύπος επίλυσης τέτοιου είδους εξίσωσης που εμπεριέχει κάποιους περιορισμούς;

Σας ευχαριστώ
Αγαπητέ φίλε, είναι εμφανέστατο ότι το βίβλιο περιγράφει ελλιπώς τον τρόπο επίλυσης αυτής της άσκησης. Λοιπόν,
το συστημα που αναφέρεις προκύπτει απο το γεγονός οτι το όρισμα του w=(z-1)/(z+1) είναι π/6. Δηλαδη, εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι αυτο το όρισμα ειναι τόσο, προκύπτει η συνθήκη οτι αν w=A+Bi τότε B/A=tan(\pi /6) (αφου το πραγματικό μέρος ενος μιγαδικού αναπαρίσταται στον οριζόντιο άξονα και το φανταστικό στον κατακόρυφο). Σκεψου επίσης τους μιγαδικούς σαν διανύσματα με αρχή των αξόνων.
Όσον αφορά την δευτερη συνθήκη, είναι θέμα τριγωνομετρίας. Θέλουμε μιγαδικούς που ανήκουν στο πρώτο τεταρτημόριο μονο αφου arg(w)=π/6. Η συναρτηση tanx είναι θετικη μονο στο πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο. Άρα με την συνθήκη Β>0 υποχρεώνουμε και το Α>0 (διότι στο τρίτο τεταρτημόριο Α,Β<0)
Τέλος, γενικά μπορούμε να πούμε πως όταν δίνεται το όρισμα ενος μιγαδικού ίσο, ακολουθούμε αυτη τη μεθοδολογία που περιγράφεται στο βιβλίο δηλαδη γραφουμε τον μιγαδικό στην καρτεσιανη μορφη του και παίρνουμε συνθήκες με βάση τη γωνία που δίνεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 23, 2019 11:10 pm

Kostas2001 έγραψε:
Κυρ Αύγ 25, 2019 1:35 pm
Γεία σας!

Είμαι (φετινός) απόφοιτος της Γ΄Λυκείου και αποφάσισα να επεκτείνω τις γνώσεις μου στα μαθηματικά αφού αυτό αποτελεί τελικά και είδος ξεκούρασης για εμένα. Αυτή τη στιγμή λοιπόν, διαβάζω το Α' μέρος του σχολικού βιβλίου της Γ΄Λυκείου (το χοντρό) και έχω φτάσει μέχρι το αναφερόμενο κεφάλαιο. Τώρα έχω κολλήσει στην εφαρμογή 1 , σελ. 108-109 , που λέει τα εξής:

Να βρεθεί το σύνολο των εικονών των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει Arg(\frac{z-1}{z+1})=\pi /6


Οπότε ,γνωρίζοντας τους ορισμούς, παίρνω πρώτα τους περιορισμούς άρα z\neq 1,-1 και μετά θέτω z=x+yi όπου x,y πραγματικοί και μετασχηματίζω τον μιγαδικό \frac{z-1}{z+1} ώστε να είναι εμφανές το πραγματικό και φανταστικό του μέρος. Όμως μετά πώς συνεχίζουμε; Πώς θα καταλήξουμε σε ισοδύναμη σχέση με τα x,y ώστε να βρούμε τον Γ.Τ.;

Το βιβλίο, που την έχει λυμένη αυτή την άσκηση, το εξηγεί με κάπως περίεργο τρόπο που δεν μπορώ να καταλάβω. Ζητάω όποιος μπορεί να με βοηθήσει να 'ξεκολλήσω' χωρίς όμως να μου δώσει λύση.

Ευχαριστώ
Δεν ξέρω τι λέει το σχολικό άλλα ο τόπος βρίσκεται χωρίς καμία πράξη.
Ειναι το τόξο του κύκλου που βρίσκεται στο ημιεπίπεδο \left \{ z:Im z> 0 \right \}
και βλέπει τα σημεία 1,-1 με γωνία \pi /6.

Αν θέλεις πράξεις τότε
\frac{z-1}{z+1}=re^{i\frac{\pi }{6}},r>0
όπου
 (e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )
βρίσκεις
z=\frac{1-r^{2}+ir}{1+r^{2}-\sqrt{3}r}
και διαπιστώνεις αλγεβρικά τα παραπάνω


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης