Βαλκανιάδα 2015

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

R BORIS: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 2377; Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am; Επικοινωνία:
Επικοινωνία R BORIS

Ιστοσελίδα

Βαλκανιάδα 2015

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Δεκ 07, 2015 6:00 pm

H άσκηση της φετινής Βαλκανιάδας (4-5-2015) με μιγαδικούς

Έστω $\displaystyle{ABC}$ σκαληνό τρίγωνο με έκκεντρο $\displaystyle{Ι}$ . Oi ευθείες $\displaystyle{AI,BI,CI}$ τέμουν τον κύκλο $\displaystyle{ABC}$ για δεύτερη φορά στα $\displaystyle{D,E,F}$ αντίστοιχα. Οι παράλληλες ευθείες από το $\displaystyle{I}$ προς τις $\displaystyle{BC,CA,AB}$ τέμνουν τις ευθείες $\displaystyle{EF,FD,ED}$ στα σημεία $\displaystyle{K,L,M}$ αντίστοιχα. Να δείξετε οτι τα $\displaystyle{K,L,M}$ είναι συνευθειακά.

Λύση
Από το βιβλίο μου των μιγαδικοί αριθμοί και μετασχητισμοί Mobius σελίδα 99 παρ/φος (15) γνωρίζουμε ότι
Αν ο κυκλος $\displaystyle{ABC}$ είναι ο μοναδιαίος και $\displaystyle{A(u^2),B(v^2),C(w^2)}$ τότε τα $\displaystyle{D,E,F}$ είναι τα μεσα των αντίστοιχων τόξων με $\displaystyle{D(-uv),E(-vw),F(-wu)}$ και το έκκεντρο $\displaystyle{I(-(uv+vw+wu))}$ επιπλέον $\displaystyle{\bar{u}=1/u}$ και κυκλικά

Εστω $\displaystyle{K(k),L(l),M(m)}$

Τα $\displaystyle{K,F,E}$ είναι συνευθειακά άρα $\displaystyle{(k+uv)/(\bar{k}+1/(uv))=(k+wu)/(\bar{k}+1/(wu))}$ [1]

$\displaystyle{KI//BC}$ τότε $\displaystyle{(k+uv+vw+wu)/(\bar{k}+1/(uv)+1/(vw)+1/(uw))= (v^2-w^2)/(1/v^2-1/w^2)}$ [2]

Η λύση του συστ'ηματος των [1],[2] δίνει $\displaystyle{k=-(u^2 (uv+uw+2vw))/(u^2-wv)=((uv+uw+vw)+uvw/u)/(uvw/u^3-1) }$ και κυκλικά προκύπτουν τα $\displaystyle{l=...,m=...}$

Τώρα μετά τις (αρκετές) πράξεις μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι $\displaystyle{(k-l)/(\bar{k}-\bar{l})-(k-m)/(\bar{k}-\bar{m})=0}$ που είναι το ζητούμενο

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες