Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Έστω με
Καλούμαστε να βρούμε το μέγιστο της παράστασης
Από την ανισότητα έχουμε
Όμως
άρα, από την προηγούμενη ανισότητα, βρίσκουμε
Επειδή η ισότητα πιάνεται όταν η τιμή είναι το ζητούμενο μέγιστο.
Καλούμαστε να βρούμε το μέγιστο της παράστασης
Από την ανισότητα έχουμε
Όμως
άρα, από την προηγούμενη ανισότητα, βρίσκουμε
Επειδή η ισότητα πιάνεται όταν η τιμή είναι το ζητούμενο μέγιστο.
Μάγκος Θάνος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Καλημέρα Νίκο!nikoszan έγραψε:Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης με ,
όπου .
Ν.Ζ.
Αν
Έχω:
\displaystyle{\displaystyle{\mathop \le \limits^{C - S} \sqrt 2 \sqrt {10 - 4\left( {x + y} \right)} }\displaystyle{x = \cos a,y = \sin a,a \in [0,2\pi )}\displaystyle{x + y = \cos a + \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) \Rightarrow - \sqrt 2 \le x + y \le \sqrt 2 \Leftrightarrow ....10 - 4\sqrt 2 \le 10 - 4\left( {x + y} \right) \le 10 + 4\sqrt 2 }}
Δηλαδή η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή η οποία λαμβάνεται όταν δηλαδή για τον μιγαδικό και επειδή χρησιμοποιήθηκε εμβόλιμα όταν
Χρήστος Κυριαζής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Ας δούμε και γεωμετρικό επιχείρημα που ερμηνεύει το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν οι δύο προηγούμενες λύσεις. Δεν άνω τις λεπτομέρειες αλλά είναι απλό να τις συμπληρώσει κανείς.
Τα είναι τα σημεία , αντίστοιχα. Η παράσταση είναι το μήκος της γραμμής (κόκκινη στο σχήμα) καθώς το διατρέχει τον σημειωμένο μοναδιαίο κύκλο. Στο σχήμα το έχει ληφθεί στην θέση του ζητούμενου μεγίστου (και το είναι η αντίστοιχη του ελαχίστου). Εύκολα βλέπουμε ότι το είναι το , όπως πριν.
Φιλικά,
Μιχάλης
Τα είναι τα σημεία , αντίστοιχα. Η παράσταση είναι το μήκος της γραμμής (κόκκινη στο σχήμα) καθώς το διατρέχει τον σημειωμένο μοναδιαίο κύκλο. Στο σχήμα το έχει ληφθεί στην θέση του ζητούμενου μεγίστου (και το είναι η αντίστοιχη του ελαχίστου). Εύκολα βλέπουμε ότι το είναι το , όπως πριν.
Φιλικά,
Μιχάλης
- Συνημμένα
-
- megisto.png (6.78 KiB) Προβλήθηκε 3917 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Καλησπέρα σας!Mihalis_Lambrou έγραψε:Ας δούμε και γεωμετρικό επιχείρημα που ερμηνεύει το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν οι δύο προηγούμενες λύσεις. Δεν άνω τις λεπτομέρειες αλλά είναι απλό να τις συμπληρώσει κανείς.
Τα είναι τα σημεία , αντίστοιχα. Η παράσταση είναι το μήκος της γραμμής (κόκκινη στο σχήμα) καθώς το διατρέχει τον σημειωμένο μοναδιαίο κύκλο. Στο σχήμα το έχει ληφθεί στην θέση του ζητούμενου μεγίστου (και το είναι η αντίστοιχη του ελαχίστου). Εύκολα βλέπουμε ότι το είναι το , όπως πριν.
Φιλικά,
Μιχάλης
Θα με ενδιέφερε πάρα πολύ το να δω τις λεπτομέρειες που παραλείψατε. Αυτή ακριβώς η γεωμετρική αντιμετώπιση, ταυτίζεται με τη δική μου, όταν προσπάθησα την άσκηση.
Δεν ένιωθα απλά άνετος, καθώς μου έλλειπε το γιατί...
Γιατί δηλαδή ο (λογικός - προφανής!!) να μεγιστοποιεί την συνάρτηση; Το μυαλό μου πήγε στην τριγωνική ανίσωση και σε αναφορές στα αντίστοιχα ημιεπίπεδα που ορίζει η , αλλά δεν έχω κάτι ικανοποιητικό.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα και σταθερό (γαλάζια στο σχήμα). Αυτή εφάπτεται του μικρού κύκλου (γιατί έχουν κοινή εφαπτομένη).Grosrouvre έγραψε: Θα με ενδιέφερε πάρα πολύ το να δω τις λεπτομέρειες που παραλείψατε.
Εκτός από το κοινό σημείο τους, μικρός κύκλος βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα στην έλλειψη (αυτό είναι γνωστό αλλά ακολουθεί απόδειξη (*). Ισχύει διότι το κέντρο του κύκλου είναι στον μικρό ημιάξονα και η ακτίνα του μικρότερη από τον μικρό ημιάξονα). Άρα για οποιοδήποτε σημείο του κύκλου έχουμε , όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Μιχάλης
(*) Στο δεξί σχήμα έχω γυρίσει την έλλειψη στην όρθια θέση. Έχει εξίσωση και o κύκλος με . Λύνοντας θα βρούμε κοινό σημείο μόνο το . Δηλαδή δεν έχουν άλλο κοινό σημείο πέραν του προφανούς, όπως θέλαμε. Λεπτομερέστερα, η πρώτη εξίσωση δίνει . Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις αφού πρώτα πολλαπλασιάσουμε την πρώτη επί έχουμε
, άρα οπότε , και άρα .
- Συνημμένα
-
- ellipsi.png (25.99 KiB) Προβλήθηκε 3735 φορές
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Καλησπέρα,
Εναλλακτικά δουλεύοντας στο σχήμα του κ.Λαμπρου.
Από την ανισότητα αριθμητικού τετραγωνικού μέσου έχουμε:
Αν το μέσο του τμήματος από το θέωρημα διαμέσων θα έχουμε
Επειδή σταθερό αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο μεγιστοποιείται όταν η ευθεία που ορίζει είναι διάμετρος.
Εναλλακτικά δουλεύοντας στο σχήμα του κ.Λαμπρου.
Από την ανισότητα αριθμητικού τετραγωνικού μέσου έχουμε:
Αν το μέσο του τμήματος από το θέωρημα διαμέσων θα έχουμε
Επειδή σταθερό αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο μεγιστοποιείται όταν η ευθεία που ορίζει είναι διάμετρος.
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Αν ζητούσε για .
Από αρχή μεγίστου το max της συνάρτησης πιάνεται στο σύνορο , οπότε με αντικατάσταση καταλήγουμε στο ίδιο πρόβλημα που έθεσε ο Νίκος. Το μόνο που θα είχαμε να δούμε είναι το max της το οποίο πιάνεται στο 5π/4 (όλα μέσα στο απόλυτο αρνητικά άρα αυξάνουν την τιμή).
Από αρχή μεγίστου το max της συνάρτησης πιάνεται στο σύνορο , οπότε με αντικατάσταση καταλήγουμε στο ίδιο πρόβλημα που έθεσε ο Νίκος. Το μόνο που θα είχαμε να δούμε είναι το max της το οποίο πιάνεται στο 5π/4 (όλα μέσα στο απόλυτο αρνητικά άρα αυξάνουν την τιμή).
What's wrong with a Greek in Hamburg?
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες