Άσκηση Μιγαδικών
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Άσκηση Μιγαδικών
Έστω και ο μιγαδικός .
A. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης .
Β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών , και του μιγαδικού u σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο
στο μιγαδικό επίπεδο.
Γ. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός είναι πραγματικός.
Δ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη σχέση
A. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης .
Β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών , και του μιγαδικού u σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο
στο μιγαδικό επίπεδο.
Γ. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός είναι πραγματικός.
Δ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη σχέση
Re: Άσκηση Μιγαδικών
Καλημέρα.
: Για έχουμε :
: Έστω
με εικόνες αντίστοιχα.
To σημείο δεν ανήκει στην ευθεία του μιγαδικού επιπέδου, που ορίζουν τα σημεία ,
η οποία είναι η ευθεία με εξίσωση : , μιας και . Επομένως, τα παραπάνω
σημεία δημιουργούν τρίγωνο. Επειδή :
,
έπεται ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
: Αρκεί να δείξουμε ότι . Πράγματι,
.
: Έστω ένας μιγαδικός τέτοιος, ώστε
, και η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο.
Τότε :
,
απ' όπου συμπεραίνουμε ότι ή , δηλαδή, .
Αντίστροφα, αν είναι τυχόν σημείο του μιγαδικού επιπέδου, τότε για τον μιγαδικό
ισχύει : .
Ώστε, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την σχέση
είναι η ευθεία με εξίσωση .
: Για έχουμε :
: Έστω
με εικόνες αντίστοιχα.
To σημείο δεν ανήκει στην ευθεία του μιγαδικού επιπέδου, που ορίζουν τα σημεία ,
η οποία είναι η ευθεία με εξίσωση : , μιας και . Επομένως, τα παραπάνω
σημεία δημιουργούν τρίγωνο. Επειδή :
,
έπεται ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
: Αρκεί να δείξουμε ότι . Πράγματι,
.
: Έστω ένας μιγαδικός τέτοιος, ώστε
, και η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο.
Τότε :
,
απ' όπου συμπεραίνουμε ότι ή , δηλαδή, .
Αντίστροφα, αν είναι τυχόν σημείο του μιγαδικού επιπέδου, τότε για τον μιγαδικό
ισχύει : .
Ώστε, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την σχέση
είναι η ευθεία με εξίσωση .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες