Γεωμετρικός τόπος και συνευθειακά σημεία

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Γεωμετρικός τόπος και συνευθειακά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Οκτ 21, 2009 12:13 am

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) για τα οποία οι εικόνες των 1,z,1 + {z^2}
είναι συνευθειακά σημεία


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρικός τόπος και συνευθειακά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Οκτ 21, 2009 12:50 am

Θέτουμε z=x+yi, x,y\epsilon R.
Τότε οι εικόνες των μιγαδικών 1, z, 1+z^{2} είναι τα A(1, 0), B(x,y), C(x^{2}-y^{2}+1, 2xy).
Τότε: \vec{AB}=(x-1,y), \vec{AC}=(x^{2}-y^{2}, 2xy)
Για να είναι συνευθειακά αρκεί να ισχύει: det\left(\vec{AB},\vec{AC} \right)=0.
Με αντικατάσταση και πράξεις προκύπτει:
x^{2}y-2xy+y^{3}=0 <=> y(x^{2}-2x+y^{2})=0 <=> y((x-1)^{2}+y^{2}-1)=0,
δηλαδή, ο γεωμετρικός τόπος είναι είτε ο άξονας x΄x είτε ο κύκλος κέντρου (1, 0) και ακτίνας 1.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης