Γεωμετρικός τόπος

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Γεωμετρικός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Οκτ 20, 2009 11:23 pm

Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, όταν
\displaystyle \ z = \frac{{1 + k}}{{1 + i + 2k}},k \in R


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2839
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρικός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Οκτ 21, 2009 12:35 am

Θέτουμε z=x+yi, x,y\epsilon R.
Τότε θέτοντας στην αρχική και κάνοντας πράξεις προκύπτει ότι:
x=\frac{(1+k)(1+2k)}{(1+2k)^{2}+1},y=\frac{-(1+k)}{(1+2k)^{2}+1}.
Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος κέντρου K\left( \frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right) και ακτίνας R=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Οι πολλές πράξεις παραλείπονται για ευνόητους λόγους...
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τετ Οκτ 21, 2009 1:12 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Γεωμετρικός τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Τετ Οκτ 21, 2009 12:36 am

Με βρήκες σήμερα σχετικά ξεκούραστο και μου βάζεις συνέχεια πράξεις......

Αν z=\frac{1}{2} θα προκύψει μετά από πράξεις απο τη δοσμένη σχέση 1=i άτοπο, άρα z\neq \frac{1}{2} , οπότε αν τη λύσουμε ως προς κ θα προκύψει \kappa =\frac{z+iz-1}{1-2z}.

Επειδή όμως ο κ είναι πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και μετά από πράξεις, απλοποιήσεις και z=x+yi, αν δεν έκανα λάθος,
ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(1/4 , -1/4) και ακτίνα \frac{1}{\sqrt{8}}.

Υ.Γ. Με εξάντλησες σήμερα στις πράξεις, ελπίζω να μου βάλεις καλό βαθμό στο τετράμηνο!!! :D :D

Φιλικά!!

Το διόρθωσα το κέντρο....


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης